東京大学 理系 2021年度 第4問 解説

問題編

問題

 以下の問いに答えよ。

(1) 正の奇数 $K, L$ と正の整数 $A, B$ が $KA=LB$ を満たしているとする。 $K$ を $4$ で割った余りが $L$ を $4$ で割った余りと等しいならば、 $A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ。

(2) 正の整数 $a,b$ が $a\gt b$ を満たしているとする。このとき、 $A={}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$, $B={}_a\mathrm{C}_b$ に対して $KA=LB$ となるような正の奇数 $K,L$ が存在することを示せ。

(3) $a,b$ は(2)の通りとし、さらに $a-b$ が $2$ で割り切れるとする。 ${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}$ を $4$ で割った余りは ${}_a\mathrm{C}_b$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ。

(4) ${}_{2021}\mathrm{C}_{37}$ を $4$ で割った余りを求めよ。

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考え方

(2)も(3)も説明が難しいです。また、(3)は、流れから考えると「2つの奇数がどのように表されるか」に注目するのでしょうが、これがまた考えづらいです。(4)はおまけみたいな問題です。

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