東京大学理系 2021年度第1問解説

🕒 2021/02/26 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　$a,b$ を実数とする。座標平面上の放物線\[ C:\ y=x^2+ax+b \]は放物線 $y=-x^2$ と2つの共有点を持ち、一方の共有点の $x$ 座標は $-1\lt x\lt 0$ を満たし、他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす。

(1) 点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(2) 放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

考え方

(1)は $(a,b)$ の話で、(2)は $(x,y)$ の話なので、よく考えないと頭が混乱してきます。(2)は放物線を直接動かすことを考えるよりも、(1)の結果を利用することを考えましょう。

解答編

問題

　$a,b$ を実数とする。座標平面上の放物線\[ C:\ y=x^2+ax+b \]は放物線 $y=-x^2$ と2つの共有点を持ち、一方の共有点の $x$ 座標は $-1\lt x\lt 0$ を満たし、他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす。

(1) 点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

解答例

(1)
$f(x)=x^2+ax+b-(-x^2)$ とすると、条件より、 $f(x)=0$ は $-1\lt x\lt 0$ を満たす解と $0\lt x\lt 1$ を満たす解を持つ。このグラフは下に凸の放物線なので、 $f(-1)\gt 0$, $f(0)\lt 0$, $f(1)\gt 0$ の3つが同時に成り立つことと同値である。

$f(-1)\gt 0$ より $b\gt a-2$ 、 $f(0)\lt 0$ より $b\lt 0$ 、 $f(1)\gt 0$ より $b\gt -a-2$ なので、点 $(a,b)$ のとりうる範囲は次の図の色のついた部分となる（境界線上の点は含まない）。

（終）

解答編　続き

問題

(2) 放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

解答例

(2)
$y=x^2+ax+b$ は、 $b=-xa+(y-x^2)$ と変形できる。これを $a$ と $b$ の関係式と考えて $ab$ 平面上にグラフをかき、(1)で求めた範囲と共有点を持つ場合を考えればよい（ $x,y$ を決めたときに(1)の範囲と共有点を持てば、対応する $(a,b)$ が存在することを意味し、共有点を持たなければ対応する $(a,b)$ が存在しないことを意味するため）。

なお、 $a$ の関数 $f(a)$ を $f(a)=-xa+(y-x^2)$ で定める。このとき、直線 $b=f(a)$ の傾きは $-x$ である。

(i) $x\gt 1$ の場合

$b=f(a)$ の傾きは $-x\lt -1$ である。