東京大学 理系 2020年度 第6問 解説

問題編

問題

 以下の問いに答えよ。

(1) $A,\alpha$ を実数とする。 $\theta$ の方程式\[ A\sin2\theta-\sin(\theta+\alpha)=0 \]を考える。 $A\gt 1$ のとき、この方程式は $0\leqq \theta\lt 2\pi$ の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。

(2) 座標平面上の楕円\[ C:\ \dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \]を考える。また、 $0\lt r \lt 1$ を満たす実数 $r$ に対して、不等式\[ 2x^2+y^2\lt r^2 \]を表す領域を $D$ とする。 $D$ 内のすべての点 $\mathrm{P}$ が以下の条件を満たすような実数 $r(0\lt r \lt 1)$ が存在することを示せ。また、そのような $r$ の最大値を求めよ。

 条件: $C$ 上の点 $\mathrm{Q}$ で、 $\mathrm{Q}$ における $C$ の接線と直線 $\mathrm{PQ}$ が直交するようなものが少なくとも4個ある。

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考え方

(1)は、 $A, \alpha$ の値は何かがはっきりしないため、具体的に解を求めることができません。しかし、解の存在であれば、言うことができます。使える道具は限定されます。

(2)は、「少なくとも4個」というキーワードが出てきていることから考えても、(1)がヒントだと予想できるのですが、なかなかすぐにはわかりづらいですね。ただ、(1)で三角関数が出てきているので、与えられた楕円を三角関数で考えていくのがいいでしょう。

お告げ通りに考えていくと、(1)に似た式が出てきます。最大値を言うためには、条件文に出てくる Q が3個しかないことをいえばいいです。楕円の式を見るよりも、(1)の式を見て考えたほうがいいでしょう。