東京大学 理系 2020年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n,k$ を、 $1\leqq k\leqq n$ を満たす整数とする。 $n$ 個の整数\[ 2^m\quad(m=0,1,2,\cdots,n-1) \]から異なる $k$ 個を選んでそれらの積をとる。 $k$ 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる ${}_n\mathrm{C}_k$ 個の整数の和を $a_{n,k}$ とおく。例えば、\[ a_{4,3}=2^0\cdot2^1\cdot2^2 +2^0\cdot2^1\cdot2^3+2^0\cdot2^2\cdot2^3+2^1\cdot2^2\cdot2^3=120\]である。

(1) $2$ 以上の整数 $n$ に対し、 $a_{n,2}$ を求めよ。

(2) $1$ 以上の整数 $n$ に対し、 $x$ についての整式\[ f_n(x)=1+a_{n,1}x+a_{n,2}x^2+\cdots+a_{n,n}x^n \]を考える。 $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}$ と $\dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}$ を $x$ についての整式として表せ。

(3) $\dfrac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$ を $n,k$ で表せ。

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考え方

見るからに大変そうですが、実際大変です。

(1)は $a_{n,k}$ の定義がきちんと把握できていたら、計算を頑張るだけです。

(2)は手がかりが少ないですね。ただ、問題文自体をヒントとして使ってみましょう。 $f_{n+1}(x)$ は $n+1$ 次式で $f_n(x)$ は $n$ 次式です。なので、割ったものが整式となるなら、1次式になるはずです。しかも、定数項は $1$ になることがわかるので、どちらも、 $ax+1$ の形の答えになることがわかります。あとは $x$ の係数を求めるだけです。 $f_{n+1}(x)$ の $x^k$ の項と、 $f_n(x)$ の $x^{k-1}$ と $x^k$ の項との関係を考えればいいことがわかります。

(3)は(2)の結果を使います。(2)で2つの式が得られるので、文字を一つ消すことができます。

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