東京大学 理系 2020年度 第5問 解説

問題編

問題

 座標空間において、 $xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を考える。この円を底面とし、点 $(0,0,2)$ を頂点とする円錐(内部を含む)を $S$ とする。また、点 $\mathrm{A}(1,0,2)$ を考える。

(1) 点 $\mathrm{P}$ が $S$ の底面を動くとき、線分 $\mathrm{AP}$ が通過する部分を $T$ とする。平面 $z=1$ による $S$ の切り口および、平面 $z=1$ による $T$ の切り口を同一平面上に図示せよ。

(2) 点 $\mathrm{P}$ が $S$ を動くとき、線分 $\mathrm{AP}$ が通過する部分の体積を求めよ。

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考え方

円錐自体はわかりやすく、切り口も想像しやすいです。(1)で断面を考えるので、(2)はそのまま断面がどうなるかを考えて積分すればいいだろうと予想できます。

(1)の答えが(2)を考えるヒントになっています。 $S$ の断面は、点 P が $S$ を平面 $z=1$ で切ったときの断面を動くときで、 $T$ の断面は点 P が $S$ の底面を動くときに対応します。これは、点 P の $z$ 座標が動くにつれて、断面は横にスライドしていく、ということを表しています。これから答えの予想ができるので、これをヒントにして他の平面で切ったときの断面図も考えましょう。

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