東京大学 理系 2020年度 第1問 解説

問題編

問題

 $a,b,c,p$ を実数とする。不等式
\begin{eqnarray}
ax^2+bx+c\gt 0 \\[5pt] bx^2+cx+a\gt 0 \\[5pt] cx^2+ax+b\gt 0 \\[5pt] \end{eqnarray}をすべて満たす実数 $x$ の集合と、 $x\gt p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

(1) $a,b,c$ はすべて0以上であることを示せ。

(2) $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3) $p=0$ であることを示せ。

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考え方

抽象的ですが、使える道具は少ないので、しぼりやすいです。グラフからどういう状況になるか考えてみましょう。

集合が一致しているということは、集合に属する実数は3つの不等式を全部満たすし、属さないものはどれかが満たされないということです。このことをよく考えましょう。