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東京大学 理系 2020年度 第1問 解説

問題編

問題

 $a,b,c,p$ を実数とする。不等式
\begin{eqnarray} ax^2+bx+c\gt 0 \\[5pt] bx^2+cx+a\gt 0 \\[5pt] cx^2+ax+b\gt 0 \\[5pt] \end{eqnarray}をすべて満たす実数 $x$ の集合と、 $x\gt p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

(1) $a,b,c$ はすべて0以上であることを示せ。

(2) $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3) $p=0$ であることを示せ。

考え方

抽象的ですが、使える道具は少ないので、しぼりやすいです。グラフからどういう状況になるか考えてみましょう。

集合が一致しているということは、集合に属する実数は3つの不等式を全部満たすし、属さないものはどれかが満たされないということです。このことをよく考えましょう。


解答編

問題

 $a,b,c,p$ を実数とする。不等式
\begin{eqnarray} ax^2+bx+c\gt 0 \\[5pt] bx^2+cx+a\gt 0 \\[5pt] cx^2+ax+b\gt 0 \\[5pt] \end{eqnarray}をすべて満たす実数 $x$ の集合と、 $x\gt p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

(1) $a,b,c$ はすべて0以上であることを示せ。

解答

(1)
$x\gt p$ の範囲では3つの不等式が成り立っている。もし $a$ が負であれば、 $x\to\infty$ としたとき、 $ax^2+bx+c\to -\infty$ となるので、1つ目の不等式が $x\gt p$ の範囲で成り立っていることに矛盾する。他も同様なので、 $a,b,c$ はすべて0以上である。

(終)

解答編 続き

問題

(2) $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

解答

(2)
$a,b,c$ がすべて正だとすると、 $x\to -\infty$ のとき、3つの不等式の左辺は、いずれも正の無限大に発散する。よって、 $x\gt p$ 以外にも3つの不等式を満たす $x$ が存在する。これは3つの不等式を満たす実数 $x$ の集合が $x\gt p$ を満たす $x$ の集合と一致していることに矛盾する。よって、 $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0である。

(終)

解答編 続き

問題

(3) $p=0$ であることを示せ。

解答

(3)
(2)より $a=0$ としてよい。このとき、3つの不等式は次のように書ける。
\begin{eqnarray} bx+c\gt 0 \\[5pt] bx^2+cx\gt 0 \\[5pt] cx^2+b\gt 0 \\[5pt] \end{eqnarray}

(i) $b=0$ のとき
1つ目の不等式から $c\gt 0$ である。また、残りの不等式は $cx\gt 0$, $cx^2\gt 0$ なので、これを同時に満たす範囲は $x\gt 0$ だから $p=0$ である。

(ii) $c=0$ のとき
3つ目の不等式から $b\gt 0$ である。また、残りの不等式は $bx\gt 0$, $bx^2\gt 0$ なので、これを同時に満たす範囲は $x\gt 0$ だから $p=0$ である。

(iii) $b,c$ がともに正のとき
3つ目の不等式はつねに成り立つ。残りの不等式は $bx+c\gt 0$, $x(bx+c)\gt 0$ である。この2つの不等式から、 $x\gt 0$ であることが必要。逆に、 $x$ が正のときには $bx+c\gt 0$ なので、この不等式を同時に満たす範囲は $x\gt 0$ だから $p=0$ である。

以上より、 $p=0$ となる。

(終)

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