東京大学 理系 2020年度 第3問 解説

問題編

問題

 $-1\leqq t\leqq 1$ を満たす実数 $t$ に対して、
\begin{eqnarray}
x(t) &=& (1+t)\sqrt{1+t} \\[5pt] y(t) &=& 3(1+t)\sqrt{1-t} \\[5pt] \end{eqnarray}とする。座標平面上の点 $\mathrm{P}(x(t),y(t))$ を考える。

(1) $-1\lt t\leqq 1$ における $t$ の関数 $\dfrac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少することを示せ。

(2) 原点と P の距離を $f(t)$ とする。 $-1\leqq t\leqq 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ、最大値を求めよ。

(3) $t$ が $-1\leqq t \leqq 1$ を動くときの P の軌跡を $C$ とし、 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする。原点を中心として $D$ を時計回りに $90^{\circ}$ 回転させるとき、 $D$ が通過する領域の面積を求めよ。

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考え方

(1)は微分するまでもないですが、微分して示してもいいです。

(2)は、 $\{f(t)\}^2$ を計算すればいいですね。計算はそれほど大変ではありません。

(3)は、まず図形をかいてみます。サイクロイドのような図形になりますが、 $y(t)$ の式にある $3$ のせいで、少し縦長になります。そのため、通過する領域に少し注意が必要です。ただ、このことは(2)の結果を使えばすぐにわかりますね。誘導が親切です。

どの小問も、油断すると計算が大変になってしまいます。簡略化できないか考えつつ、計算していくようにしましょう。