東京大学 理系 2019年度 第1問 解説

解答編

問題

 次の定積分を求めよ。
\begin{eqnarray}
\int_0^1 \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right) dx
\end{eqnarray}

解答

\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right) dx \\[5pt] &=&
\int_0^1 \left(x^2 +\frac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} +\frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right) dx \\[5pt] &=&
\int_0^1 \left(x^2 +\frac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} +\frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以下、3つに分けて計算していく。1項目は
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 x^2 dx \\[5pt] &=&
\Big[ \frac{1}{3}x^3 \Big]_0^1 \\[5pt] &=&
\frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

2項目を計算する。 $t=\sqrt{1+x^2}$ とおくと、
\begin{eqnarray}
\frac{dt}{dx}
&=&
\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{eqnarray}となるので、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 \frac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} dx \\[5pt] &=&
\int_0^1 \frac{2x^2+1}{1+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx \\[5pt] &=&
\int_1^{\sqrt{2}} \frac{2t^2-1}{t^2} dt \\[5pt] &=&
\Big[ 2t+\frac{1}{t} \Big]_1^{\sqrt{2}} \\[5pt] &=&
2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-(2+1) \\[5pt] &=&
\frac{5\sqrt{2}}{2}-3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

最後に、3項目を計算する。 $x=\tan t$ とおくと、
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dt} &=& \frac{1}{\cos^2 t} \\[5pt] &=& 1+x^2
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx \\[5pt] &=&
\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 t}{1+\tan^2 t} dt \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t dt \\[5pt] &=&
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2t}{2} dt \\[5pt] &=&
\Big[ \frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4} \Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\[5pt] &=&
\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以上から、
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{3}+\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}-3\right)+\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right) \\[5pt] &=&
\frac{\pi}{8}+\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{35}{12}
\end{eqnarray}と求められる。

(終)