東京大学 理系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

 座標空間内に5点 $\mathrm{ A }(2,0,0)$, $\mathrm{ B }(0,2,0)$, $\mathrm{ C }(-2,0,0)$, $\mathrm{ D }(0,-2,0)$, $\mathrm{ E }(0,0,-2)$ を考える。線分 AB の中点 M と線分 AD の中点 N を通り、直線 AE に平行な平面を $\alpha$ とする。さらに、 p は $2\lt p \lt 4$ をみたす実数とし、点 $\mathrm{ P }(p,0,2)$ を考える。

(1) 八面体 PABCDE の平面 $y=0$ による切り口および、平面 $\alpha$ の平面 $y=0$ による切り口を同一平面上に図示せよ。

(2) 八面体 PABCDE の平面 $\alpha$ による切り口が八角形となる p の範囲を求めよ。

(3) 実数 p が(2)で定まる範囲にあるとする。八面体 PABCDE の平面 $\alpha$ による切り口のうち $y\geqq 0$, $z\geqq 0$ の部分を点 $(x,y,z)$ が動くとき、座標平面上で点 $(y.z)$ が動く範囲の面積を求めよ。

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考え方

考えにくい問題ですが、前半は平面 $y=0$ で切ることを前提にして空間図形をかいてみるとわかりやすいかもしれません。

(1)では、「同一平面上に図示せよ」というのがポイントで、 $p$ の値によって切り口の交差の仕方が変わることに注意しましょう。(2)は、平面が八面体のすべての面を切る場合を考えます。

(3)は、どこの部分のことを言ってるのかを把握するのがまた大変ですが、よく考えると点の動く範囲は四角形になることがわかります。なので、4頂点の座標さえわかれば、面積を出すのは簡単です。頑張って座標を求めましょう。