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東京大学 理系 2019年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n$ を $1$ 以上の整数とする。

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ。

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

考え方

(1)は、最大公約数を求める強力なツールがありましたね。

(2)は、整数の2乗で書けるとすると、 $n^2+1$ と $5n^2+9$ のそれぞれについて、どのような条件がつくかを考えます。(1)の結果も使って、 $d_n$ で割ったものがどうなるかを考えましょう。


解答編

問題

 $n$ を $1$ 以上の整数とする。

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ。

解答

(1)
$5n^2+9=5(n^2+1)+4$ なので、ユークリッドの互除法より、 $d_n$ は、 $n^2+1$ と $4$ との最大公約数である。

$n$ が偶数のとき、 $n^2+1$ は奇数なので、このとき $d_n=1$ となる。

$n$ が奇数のとき、整数 $k$ を使って $n=2k+1$ と表すと、\[ n^2+1=(2k+1)^2+1=4(k^2+k)+2 \]なので、 $n^2+1$ は $4$ で割ると $2$ 余る偶数である。よって、このとき $d_n=2$ である。

以上から、 $n$ が偶数のときは $d_n=1$ 、 $n$ が奇数のときは $d_n=2$ となる。

((1)終わり)

解答編 つづき

問題

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

解答

互いに素な $2$ 以上の整数 $a,b$ に対し、 $ab$ が整数の2乗で書けるとする。このとき、 $ab$ の各素因数の指数は、どれも偶数である。 $a,b$ は互いに素なので、共通の因数を持たないことから、 $a,b$ の各素因数の指数も、偶数となる。つまり、 $a,b$ もそれぞれ、ある整数の2乗で書けることになる。このことを用いて、考えていく。

(i) $n$ が偶数のとき

(1)より、 $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数は $1$ だから互いに素である。もし、 $(n^2+1)(5n^2+9)$ が整数の2乗で書けるなら、冒頭の議論から、 $n^2+1$ はある整数の2乗で書けることになる。しかし
\begin{eqnarray} n^2 & \lt & n^2+1 \\[5pt] & \lt & n^2+2n+1 \\[5pt] & = & (n+1)^2 \end{eqnarray}なので、 $n^2+1$ が整数の2乗になることはない。なので、このときは、 $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にはならない。

(ii) $n$ が奇数のとき

整数 $k$ を用いて、 $n=2k+1$ とおく。このとき
\begin{eqnarray} & & (n^2+1)(5n^2+9) \\[5pt] &=& \{ (2k+1)^2+1 \} \{ 5(2k+1)^2+9 \} \\[5pt] &=& (4k^2+4k+2)(20k^2+20k+14) \\[5pt] &=& 2(2k^2+2k+1)\cdot 2(10k^2+10k+7) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、(1)より、 $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数は $2$ だから、 $(2k^2+2k+1)$ と $(10k^2+10k+7)$ は、互いに素である。もし、 $(n^2+1)(5n^2+9)$ が整数の2乗で書けるなら、これを $2^2$ で割った $(2k^2+2k+1)(10k^2+10k+7)$ も整数の2乗で書けるので、冒頭の議論から、 $(10k^2+10k+7)$ はある整数の2乗で書けることになる。しかし、整数を2乗して1の位が $7$ になることはないので、 $10k^2+10k+7$ が整数の2乗になることはない。よって、このときも、 $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にはならない。

(i)(ii)から、 $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にはならないことがわかる。

(終わり)

解説

$a,b$ が互いに素で $ab$ が2乗で書けるなら、 $a,b$ それぞれも2乗で書ける、ということを利用します。

$n$ が奇数のときは少し気づきにくいですが、整数を2乗して何かで割った余りに着目すれば、2乗で書けないことがわかります。ここでは、10で割った余りに着目していますが、5で割った余りに着目しても構いません。整数を2乗して5で割ると、余りは $0,1,4$ のどれかなので、余りが $2$ になることはありません。このことからも、 $10k^2+10k+7$ が整数の2乗で書けないことがわかります。

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