東京大学 理系 2019年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n$ を $1$ 以上の整数とする。

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ。

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

【広告】
青チャートが大学入学共通テストを見据え「増補改訂版」として発売
改訂版の巻末に実践編〔大学入学共通テストの準備・対策のためのコーナー〕として新傾向の問題を追加
実践編には関連する例題やコラムなどの参照先を示し、それらを振り返ることで理解が深まる仕組み
著者: チャート研究所
出版社: 数研出版
発売日: 2019/01/24

考え方

(1)は、最大公約数を求める強力なツールがありましたね。

(2)は、整数の2乗で書けるとすると、 $n^2+1$ と $5n^2+9$ のそれぞれについて、どのような条件がつくかを考えます。(1)の結果も使って、 $d_n$ で割ったものがどうなるかを考えましょう。