東京大学 理系 2019年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n$ を $1$ 以上の整数とする。

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ。

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

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考え方

(1)は、最大公約数を求める強力なツールがありましたね。

(2)は、整数の2乗で書けるとすると、 $n^2+1$ と $5n^2+9$ のそれぞれについて、どのような条件がつくかを考えます。(1)の結果も使って、 $d_n$ で割ったものがどうなるかを考えましょう。