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東京大学 理系 2019年度 第1問 解説

問題編

問題

 次の定積分を求めよ。
\begin{eqnarray} \int_0^1 \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} }\right) dx \end{eqnarray}

考え方

展開してそれぞれの積分を計算するだけです。置換積分の使い方も、よくあるパターンです。


解答編

問題

 次の定積分を求めよ。
\begin{eqnarray} \int_0^1 \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} }\right) dx \end{eqnarray}

解答

\begin{eqnarray} & & \int_0^1 \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} }\right) dx \\[5pt] &=& \int_0^1 \left(x^2 +\frac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} }+\frac{x}{\sqrt{1+x^2} } +\frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right) dx \\[5pt] &=& \int_0^1 \left(x^2 +\frac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} } +\frac{x^2}{(1+x^2)^2} \right) dx \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以下、3つに分けて計算していく。1項目は
\begin{eqnarray} & & \int_0^1 x^2 dx \\[5pt] &=& \Big[ \frac{1}{3}x^3 \Big]_0^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

2項目を計算する。 $t=\sqrt{1+x^2}$ とおくと、
\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx} &=& \frac{x}{\sqrt{1+x^2} } \end{eqnarray}となるので、 \begin{eqnarray} & & \int_0^1 \frac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2} } dx \\[5pt] &=& \int_0^1 \frac{2x^2+1}{1+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2} } dx \\[5pt] &=& \int_1^{\sqrt{2} } \frac{2t^2-1}{t^2} dt \\[5pt] &=& \Big[ 2t+\frac{1}{t} \Big]_1^{\sqrt{2} } \\[5pt] &=& 2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2} }-(2+1) \\[5pt] &=& \frac{5\sqrt{2} }{2}-3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

最後に、3項目を計算する。 $x=\tan t$ とおくと、
\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& \frac{1}{\cos^2 t} \\[5pt] &=& 1+x^2 \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} & & \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx \\[5pt] &=& \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \\[5pt] &=& \int_0^{\frac{\pi}{4} } \frac{\tan^2 t}{1+\tan^2 t} dt \\[5pt] &=& \int_0^{\frac{\pi}{4} } \sin^2 t dt \\[5pt] &=& \int_0^{\frac{\pi}{4} } \frac{1-\cos 2t}{2} dt \\[5pt] &=& \Big[ \frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4} \Big]_0^{\frac{\pi}{4} } \\[5pt] &=& \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以上から、
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{3}+\left(\frac{5\sqrt{2} }{2}-3\right)+\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right) \\[5pt] &=& \frac{\pi}{8}+\frac{5\sqrt{2} }{2}-\frac{35}{12} \end{eqnarray}と求められる。

(終)

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