東京大学 理系 2019年度 第6問 解説

問題編

問題

　複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ および実数 a, b が、次の3条件を満たしながら動く。

条件１： $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ が相異なる。

条件２： $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は4次方程式 $z^4-2z^3-2az+b=0$ の解である。

条件３：複素数 $\alpha\beta+\gamma\delta$ の実部は $0$ であり、虚部は $0$ でない。

(1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。

(2) $b$ を $a$ で表せ。

(3) 複素数 $\alpha+\beta$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

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考え方

(1)は、4つの複素数が実数係数の4次方程式の解であることから、虚数があるとすれば、2個か4個しかありません。共役な複素数も解になることと条件３を使って示しましょう。

(2)は、条件２の方程式の係数を利用して考えていきましょう。互いに共役な複素数と実数2つであることがわかっているので、この4つの複素数は、4つの実数を使って表すことができます。これと方程式の係数から、条件を絞っていきます。

(3)は、どのように解いていけばいいのか、少しわかりづらいですが、(2)を導くときに用いた式を用いましょう。