東京大学 理系 2019年度 第5問 解説

問題編

問題

 以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を $1$ 以上の整数とする。 $x$ についての方程式\[ x^{2n-1}=\cos x \]は、ただ一つの実数解 $a_n$ を持つことを示せ。

(2) (1) で定まる $a_n$ に対し、 $\cos a_n\gt \cos 1$ を示せ。

(3) (1) で定まる数列 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$, $\cdots$ に対し、
\begin{eqnarray}
a &=& \lim_{n\to\infty} a_n \\[5pt] b &=& \lim_{n\to\infty} a_n^n \\[5pt] c &=& \lim_{n\to\infty} \frac{a_n^n-b}{a_n-a} \\[5pt] \end{eqnarray}を求めよ。

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考え方

(1)は、ほとんどの区間は無視してよく、まじめに考えるべきなのは、絶対値が $1$ 以下の範囲です。単調性も利用して示すといいでしょう。

(2)は(1)がわかればほとんど明らかです。これは、(3)のヒントになっていて、はさみうちの定理の匂いがしますね。 $b$ は $n$ 乗に関する極限ですが、 $x^{2n-1}$ 乗と似ているので、これを利用できるように変形しましょう。 $c$ は、不定形の極限ですが、具体的な式変形は難しそうなので、別の方法を使います。分母と分子の形をよく見て考えてみましょう。