東京大学 理系 2018年度 第5問 解説

問題編

問題

 複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を C とする。点 $\mathrm{ P }(z)$ は C 上にあり、点 $\mathrm{ A }(1)$ とは異なるとする。点 P における円 C の接線に関して、点 A と対称な点を $\mathrm{ Q }(u)$ とする。 $w=\dfrac{1}{1-u}$ とおき、 w と共役な複素数を $\overline{w}$ で表す。

(1) u と $\dfrac{\overline{w}}{w}$ を z についての整式として表し、絶対値の商 $\dfrac{|w+\overline{w}-1|}{|w|}$ を求めよ。

(2) C のうち実部が $\dfrac{1}{2}$ 以下の複素数で表される部分を $C’$ とする。点 $\mathrm{ P }(z)$ が $C’$ 上を動くときの点 $\mathrm{ R }(w)$ の軌跡を求めよ。

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考え方

(1)の u の部分ができれば、後はなんとかなるかもしれませんが、一番初めの u がやっかいです。計算だけで進めていくのは厳しいです。図形の性質を使って考えましょう。

(2)は、(1)を使えば、「求める軌跡がどんな図形の一部なのか」がわかります。あとは、その図形のどの部分かを考えますが、また視点を変えて攻めていく必要があります。