東京大学 理系 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

 放物線 $y=x^2$ のうち $-1\leqq x \leqq 1$ をみたす部分を C とする。座標平面上の原点 O と点 $\mathrm{ A }(1,0)$ を考える。 $k\gt 0$ を実数とする。点 PC 上を動き、点 Q が線分 OA 上を動くとき、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OR } }=\frac{1}{k}\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }+k\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } } \]をみたす点 R が動く領域の面積を $S(k)$ とする。

 $S(k)$ および $\displaystyle \lim_{k\to+0} S(k)$, $\displaystyle \lim_{k\to \infty} S(k)$ を求めよ。

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考え方

$k\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$ により、横に k だけ移動することがわかります。こちらはわかりやすいので、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ がどのように動くかを考えましょう。

領域の面積を求める場合は、 k によって領域の形が変わることに注意しましょう。放物線を横に動かしたときに、左端が右端を追い抜くかどうかで、領域の形が変わり、積分する領域も変わります。

面積が出れば、あとの極限はおまけ問題です。