東京大学 理系 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

 数列 $a_1,a_2,\cdots$ を\[ a_n=\frac{ {}_{2n+1} \mathrm{ C }_n}{n!}\quad(n=1,2,\cdots) \]で定める。

(1) $n\geqq 2$ とする。 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ を既約分数 $\dfrac{q_n}{p_n}$ として表したときの分母 $p_n\geqq 1$ と分子 $q_n$ を求めよ。

(2) $a_n$ が整数となる $n\geqq 1$ をすべて求めよ。

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考え方

(1)は、階乗を使って、たくさん出てくる文字を消していきましょう。最後、答え方には注意しましょう。

(2)は、(1)を使うことはすぐにわかると思います。あるところから先は、 $q_n$ 側の素因数が足りなくなることを示しましょう。