東京大学 理系 2018年度 第4問 解説

問題編

問題

 $a\gt 0$ とし、\[ f(x)=x^3-3a^2x \]とおく。次の2条件を満たす点 $(a,b)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

 条件1:方程式 $f(x)=b$ は相異なる3実数解をもつ。
 条件2:さらに、方程式 $f(x)=b$ の解を $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ とすると $\beta\gt 1$ である。

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考え方

条件1はよく見るものですが、条件2はあまり見ないですね。グラフの形から、どのような状況になっていたらいいかを考えましょう。

答えだけを出すならそれほど大変ではありませんが、条件2を満たしていることをいうのは少し面倒です。