問題編
問題
座標空間内の4点 $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,1,1)$ を考える。
$\dfrac{1}{2}\lt r \lt 1$ とする。点 P が線分 OA, AB, BC 上を動くときに点 P を中心とする半径 r の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれ $V_1$, $V_2$, $V_3$ とする。
(1) 平面 $y=t$ が $V_1$, $V_3$ 双方と共有点をもつような t の範囲を与えよ。さらに、この範囲の t に対し、平面 $y=t$ と $V_1$ の共通部分および、平面 $y=t$ と $V_3$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。
(2) $V_1$ と $V_3$ の共通部分が $V_2$ に含まれるための r についての条件を求めよ。
(3) r は(2)の条件をみたすとする。 $V_1$ の体積を S とし、 $V_1$ と $V_2$ の共通部分の体積を T とする。 $V_1$, $V_2$, $V_3$ を合わせて得られる立体 V の体積を S と T を用いて表せ。
(4) ひきつづき r は(2)の条件をみたすとする。 S と T を求め、 V の体積を決定せよ。
考え方
断面で切ったときの図形で考えていきましょう。「球が通過する部分に含まれる点」と「中心が移動する線分」との距離について考えると、範囲が考えやすいかもしれません。
(3)は、(2)から、3つの図形の共通部分について何が言えるかを考えましょう。
(4)は、ここまでができていれば、たいして難しくはない積分です。ここにたどりつくまでが難しいです。
1 2