東京大学 理系 2018年度 第6問 解説

問題編

問題

　座標空間内の4点 $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,1,1)$ を考える。

　$\dfrac{1}{2}\lt r \lt 1$ とする。点 P が線分 OA, AB, BC 上を動くときに点 P を中心とする半径 r の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれ $V_1$, $V_2$, $V_3$ とする。

(1) 平面 $y=t$ が $V_1$, $V_3$ 双方と共有点をもつような t の範囲を与えよ。さらに、この範囲の t に対し、平面 $y=t$ と $V_1$ の共通部分および、平面 $y=t$ と $V_3$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。

(2) $V_1$ と $V_3$ の共通部分が $V_2$ に含まれるための r についての条件を求めよ。

(3) r は(2)の条件をみたすとする。 $V_1$ の体積を S とし、 $V_1$ と $V_2$ の共通部分の体積を T とする。 $V_1$, $V_2$, $V_3$ を合わせて得られる立体 V の体積を S と T を用いて表せ。

(4) ひきつづき r は(2)の条件をみたすとする。 S と T を求め、 V の体積を決定せよ。

【広告】

大学の学科図鑑

ファンタジーイラスト×リアルデータで贈るエンタメ学科ガイド。ライトな見た目とは裏腹に収録情報は骨太。伝統ある定番の学科から新進気鋭の学科まで、多様化する専攻分野の実態と卒業後の進路を、学費・取得資格&検定、進路&就職先といったお役立ち情報とともに楽しく解説していきます。

著者：石渡 嶺司
出版社：SBクリエイティブ
発売日：2017-09-15
ページ数：192 ページ
値段：￥1,100
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

断面で切ったときの図形で考えていきましょう。「球が通過する部分に含まれる点」と「中心が移動する線分」との距離について考えると、範囲が考えやすいかもしれません。

(3)は、(2)から、3つの図形の共通部分について何が言えるかを考えましょう。

(4)は、ここまでができていれば、たいして難しくはない積分です。ここにたどりつくまでが難しいです。