東京大学 理系 2018年度 第6問 解説

問題編

問題

 座標空間内の4点 $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,1,1)$ を考える。

 $\dfrac{1}{2}\lt r \lt 1$ とする。点 P が線分 OA, AB, BC 上を動くときに点 P を中心とする半径 r の球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれ $V_1$, $V_2$, $V_3$ とする。

(1) 平面 $y=t$ が $V_1$, $V_3$ 双方と共有点をもつような t の範囲を与えよ。さらに、この範囲の t に対し、平面 $y=t$ と $V_1$ の共通部分および、平面 $y=t$ と $V_3$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。

(2) $V_1$ と $V_3$ の共通部分が $V_2$ に含まれるための r についての条件を求めよ。

(3) r は(2)の条件をみたすとする。 $V_1$ の体積を S とし、 $V_1$ と $V_2$ の共通部分の体積を T とする。 $V_1$, $V_2$, $V_3$ を合わせて得られる立体 V の体積を ST を用いて表せ。

(4) ひきつづき r は(2)の条件をみたすとする。 ST を求め、 V の体積を決定せよ。

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考え方

断面で切ったときの図形で考えていきましょう。「球が通過する部分に含まれる点」と「中心が移動する線分」との距離について考えると、範囲が考えやすいかもしれません。

(3)は、(2)から、3つの図形の共通部分について何が言えるかを考えましょう。

(4)は、ここまでができていれば、たいして難しくはない積分です。ここにたどりつくまでが難しいです。