共通テスト数学I・数学A 2021年度追試第3問解説

🕒 2021/02/05 🔄 2023/05/01

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

　二つの袋 A, B と一つの箱がある。 A の袋には赤球2個と白球1個が入っており、 B の袋には赤球3個と白球1個が入っている。また、箱には何も入っていない。

(1) A, B の袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{アイ} }{\myBox{ウエ} }$ である。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{オカ} }{\myBox{キク} }$ であり、取り出した球が赤球であったときに、それが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コサ} }$ である。

(2) A, B の袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{シ} }{\myBox{ス} }$ である。また、箱の中の4個の球のうち、ちょうど3個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }$ である。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り出すとき、どちらの球も赤球である確率は $\dfrac{\myBox{タチ} }{\myBox{ツテ} }$ である。また、取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに、それらのうちの1個のみが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\dfrac{\myBox{トナ} }{\myBox{ニヌ} }$ である。

考え方

考えている状況はシンプルで、それぞれの計算も複雑ではないのですが、まじめに場合分けをすると、量が多くなりすぎます。工夫して計算をしないと、時間が足りなくなってしまいます。直接計算せずに求める方法がないか、意識して解いていきましょう。

解答編

問題

　二つの袋 A, B と一つの箱がある。 A の袋には赤球2個と白球1個が入っており、 B の袋には赤球3個と白球1個が入っている。また、箱には何も入っていない。

(1) A, B の袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{アイ} }{\myBox{ウエ} }$ である。

解説

この問題のように「少なくとも～の確率」を求める場合、余事象を考えると、ケースが減って求めやすくなることが多いです。今の場合は、 $1$ から「すべて白球」の確率を引いたほうが楽です。

すべて白球となる確率を求めます。 A から白球を取り出す確率が $\dfrac{1}{3}$ であり、 B から白球を取り出す確率が $\dfrac{1}{4}$ です。これを掛ければ求められます。

よって、少なくとも1個が赤球である確率は\[ 1-\dfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\dfrac{11}{12} \]となります。

解答

アイウエ：1112

解答編つづき

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{オカ} }{\myBox{キク} }$ であり、取り出した球が赤球であったときに、それが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コサ} }$ である。

解説

取り出した球が赤球となるとき、箱の中には「赤球が2つあった」か「赤球と白球が1個ずつあった」かのどちらかです。

赤球が2つある確率は、 $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$ です。このとき、必ず取り出した球は赤球なので、「箱に赤球が2個入り、箱から赤球1個を取り出す確率」は $\dfrac{1}{2}$ となります。

箱の中に赤球と白球が1個ずつある確率は、(i)から「箱に赤球が2つある確率」を引けばいいので、 $\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{12}$ と求められます。このとき、赤球を取り出す確率は $\dfrac{1}{2}$ なので、「箱に赤球と白球が1個ずつ入り、箱から赤球1個を取り出す確率」は $\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{24}$ となります。

以上から、取り出した球が赤球である確率は\[ \frac{1}{2}+\frac{5}{24}=\dfrac{17}{24} \]となります。

次に、取り出した球が赤球であったときに、それが B の袋に入っていたものである条件付き確率を考えます。

この場合、 B の袋からは赤球を取り出していたケースしかありません。 A の袋からは何色の球を取り出してもよく、箱から B の袋にあった球を取り出すケースを考えればいいので、「 B の袋に入っていた赤球を箱から取り出す確率」は\[ \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \]となります。

よって、条件付き確率は\[ \frac{3}{8}\div\dfrac{17}{24}=\dfrac{9}{17} \]となります。

解答

オカキク：1724
ケコサ：917

解答編つづき

(2) A, B の袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。

(i) 箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{シ} }{\myBox{ス} }$ である。また、箱の中の4個の球のうち、ちょうど3個が赤球である確率は $\dfrac{\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }$ である。

解説

箱の中に赤球が2個あるとき、白球も2個あります。どちらの袋にも白球は1個しかないので、必ずどちらの袋からも「赤球1個、白球1個」を選ばなくてはいけません。

A から赤1個白1個を選ぶ確率は、 $1$ から「赤球2個を選ぶ確率」を引けばいいので\[ 1-\dfrac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_3\mathrm{C}_2}=\frac{2}{3} \]です。

B から赤1個白1個を選ぶ確率は、 $1$ から「赤球2個を選ぶ確率」を引けばいいので\[ 1-\dfrac{ {}_3\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\frac{1}{2} \]です。

よって、箱の中が「赤球2個、白球2個」となる確率は\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\dfrac{1}{3} \]となります。

次に、赤球が3個の確率を求めます。

この場合、 A から赤球2個を取り出していたケースと A から赤球1個を取り出していたケースがあります。これらをそれぞれ計算してもいいのですが、これ以外のケースを考えたほうが楽かもしれません。

白球は全部で2個しかないので、赤球は2個か3個か4個のケースしかありません。赤球4個のケースは、どちらからも赤球2個を取り出すケースしかないので、こちらを求めたほうが楽そうです。

それぞれの袋から赤球2個を取り出す確率は\[ \dfrac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_3\mathrm{C}_2} \cdot \dfrac{ {}_3\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\frac{1}{6} \]です。これが赤球が4個になる確率です。

なので、赤球が3個である確率は、2個のケースと4個のケースを引いて\[ 1-\dfrac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \]と求められます。

解答

シス：13
セソ：12

解答編つづき

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り出すとき、どちらの球も赤球である確率は $\dfrac{\myBox{タチ} }{\myBox{ツテ} }$ である。また、取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに、それらのうちの1個のみが B の袋に入っていたものである条件付き確率は $\dfrac{\myBox{トナ} }{\myBox{ニヌ} }$ である。

解説

箱の中の赤球は、2個、3個、4個のケースがあり、先ほどの結果から、それぞれこうなる確率は $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{6}$ であることがわかります。

箱の中の赤球が2個のとき、箱から赤球2個を取り出す確率は $\dfrac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\dfrac{1}{6}$ です。

箱の中の赤球が3個のとき、箱から赤球2個を取り出す確率は $\dfrac{ {}_3\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\dfrac{1}{2}$ です。

箱の中の赤球が4個のとき、箱から赤球2個を取り出す確率は $1$ です。

なので、箱の中から2個取り出すとき、どちらの球も赤球である確率は
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{18}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{2+9+6}{36}=\frac{17}{36} \end{eqnarray}となります。

次に、取り出した2個が両方赤球であったとき、1個のみが B の袋に入っていたものである条件付き確率を考えます。

このときに取り出した2個の赤球は、片方はもともと A の袋にあり、もう片方は B の袋にあった、ということです。これを、「箱の中に赤球が2個あったとき」「箱の中に赤球が3個あったとき」「箱の中に赤球が4個あったとき」と分けて計算するのは大変です。

しかし、これ以外のケースはまだ少し簡単です。これ以外のケースとは、「取り出した2個の赤球は、どちらも A の袋にあったもの」と「取り出した2個の赤球は、どちらも B の袋にあったもの」です。これらのほうが状況がシンプルになるので、こちらで考えてみます。

「取り出した2個の赤球は、どちらも A の袋にあったもの」というケースを考えましょう。こうなるのは、まず A から赤球を2個選んだときだけです。 B からは何を選んでもよく、箱の中の4個から A にあった2個を選びます。このケースだけなので、こうなる確率は\[ \frac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_3\mathrm{C}_2}\cdot\frac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\frac{1}{18} \]となります。

「取り出した2個の赤球は、どちらも B の袋にあったもの」というケースも同様に考えます。こうなるのは、まず B から赤球を2個選んだときだけです。 A からは何を選んでもよく、箱の中の4個から B にあった2個を選びます。このケースだけなので、こうなる確率は\[ \frac{ {}_3\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}\cdot\frac{ {}_2\mathrm{C}_2}{ {}_4\mathrm{C}_2}=\frac{1}{12} \]となります。

よって、箱から2個を取り出すとき、赤球2個を取り出す確率が $\dfrac{17}{36}$ 、「もともと A にあった赤球2個を取り出す確率」が $\dfrac{1}{18}$ 、「もともと B にあった赤球2個を取り出す確率」が $\dfrac{1}{12}$ なので、「もともと A, B にあった赤球を1個ずつを取り出す確率」は、\[ \frac{17}{36}-\frac{1}{18}-\frac{1}{12}=\frac{1}{3} \]です。

よって、条件付き確率は\[ \frac{1}{3}\div\frac{17}{36}=\frac{12}{17} \]となります。