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京都大学 理系 2021年度 第6問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $n$ を $2$ 以上の整数とする。 $3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ。

問2 $a$ を $1$ より大きい定数とする。微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=af(1)$ を満たすとき、曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することを示せ。

考え方

問1は、なかなかとっかかりが少ないです。思いつけばすぐですが、泥沼にはまるとなかなか抜け出せません。

問2は、このような問題では、「必ずこの式を満たすものが存在する」という定理が使えることが多いです。ただ、うまい関数を探さなければいけないので難しいです。


解答編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $n$ を $2$ 以上の整数とする。 $3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ。

解答例

対偶「 $n$ が素数でないならば $3^n-2^n$ は素数でない」を示す。

2以上の整数 $p,q$ を使って $n=pq$ と書けるとする。 $A=3^p$, $B=2^p$ とすると、
\begin{eqnarray} & & 3^n-2^n \\[5pt] &=& 3^{pq}-2^{pq} \\[5pt] &=& A^q-B^q \\[5pt] &=& (A-B)(A^{q-1}+A^{q-2}B+A^{q-3}B^2+\cdots+AB^{q-2}+B^{q-1}) \\[5pt] \end{eqnarray}と書ける。ここで、 $A-B$ は $2$ より大きい整数なので、 $3^n-2^n$ は素数でない。よって、 $3^n-2^n$ が素数ならば $n$ は素数である。

(終)

解答編 つづき

問2 $a$ を $1$ より大きい定数とする。微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=af(1)$ を満たすとき、曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することを示せ。

解答例

$x\gt 0$ の範囲で $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ と定義する。このとき、 $g(1)=f(1)$ であり、条件より $g(a)=\dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{af(1)}{a}=f(1)$ が成り立つ。また、 $g(x)$ は微分可能で\[ g'(x)=\dfrac{f'(x)x-f(x)}{x^2} \]である。よって、平均値の定理から、 $1\lt p \lt a$ で\[ g'(p)=\frac{g(a)-g(1)}{a-1}=0 \]を満たす $p$ が存在する。このとき、 $f'(p)p-f(p)=0$ が成り立つ。

点 $(p,f(p))$ における $y=f(x)$ の接線は
\begin{eqnarray} y &=& f'(p)(x-p)+f(p) \\[5pt] &=& f'(p)x-f'(p)p+f(p) \\[5pt] &=& f'(p)x \end{eqnarray}なので、この接線は原点を通る。以上より、曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することが示せた。

(終)

(以前載せていた解答例は、内容が怪しかったので修正しました)

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