京都大学 理系 2021年度 第6問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $n$ を $2$ 以上の整数とする。 $3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ。

問2 $a$ を $1$ より大きい定数とする。微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=af(1)$ を満たすとき、曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することを示せ。

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考え方

問1は、なかなかとっかかりが少ないです。思いつけばすぐですが、泥沼にはまるとなかなか抜け出せません。

問2は、このような問題では、「必ずこの式を満たすものが存在する」という定理が使えることが多いです。ただ、うまい関数を探さなければいけないので難しいです。

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