京都大学 理系 2021年度 第5問 解説

問題編

問題

 $xy$ 平面において、2点 $\mathrm{ B }(-\sqrt{3},-1)$, $\mathrm{ C }(\sqrt{3},-1)$ に対し、点 A は次の条件(*)を満たすとする。

(*) $\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\pi}{3}$ かつ点 A の $y$ 座標は正

 次の各問に答えよ。

(1) $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外心の座標を求めよ。

(2) 点 A が条件(*)を満たしながら動くとき、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の垂心の軌跡を求めよ。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、外心は $y$ 軸上にあることがわかるので、それほど計算がごちゃごちゃしないで求めることができます。一方、(2)は少し計算がごちゃつきますが、計算を頑張ればきれいな答えが得られます。

なお、別解で、幾何的に解く方法も追加しています。

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