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京都大学 理系 2021年度 第1問 解説

問題編

問題

(補足説明は問題文に追加しています)

 次の各問に答えよ。

問1  $xyz$ 空間の3点 $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(0,-1,0)$, $\mathrm{ C }(0,0,2)$ を通る平面 $\alpha$ に関して点 $\mathrm{ P }(1,1,1)$ と対称な点 $\mathrm{ Q }$ の座標を求めよ。ただし、点 $\mathrm{ Q }$ が平面 $\alpha$ に関して $\mathrm{ P }$ と対称であるとは、線分 $\mathrm{ PQ }$ の中点 $\mathrm{ M }$ が平面 $\alpha$ 上にあり、直線 $\mathrm{ PM }$ が $\mathrm{ P }$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線となることである。

問2 赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、 $n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類すべての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただし $n$ は4以上の整数とする。

考え方

問1は、何をすればいいか、ほとんど全部問題文に書いてあります。問2は、勘違いしやすいですが、 $\dfrac{3^{n-1} }{4^n}$ ではありません。どういうケースがダメなのか考えてみましょう。


解答編

問題

(補足説明は問題文に追加しています)

 次の各問に答えよ。

問1  $xyz$ 空間の3点 $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(0,-1,0)$, $\mathrm{ C }(0,0,2)$ を通る平面 $\alpha$ に関して点 $\mathrm{ P }(1,1,1)$ と対称な点 $\mathrm{ Q }$ の座標を求めよ。ただし、点 $\mathrm{ Q }$ が平面 $\alpha$ に関して $\mathrm{ P }$ と対称であるとは、線分 $\mathrm{ PQ }$ の中点 $\mathrm{ M }$ が平面 $\alpha$ 上にあり、直線 $\mathrm{ PM }$ が $\mathrm{ P }$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線となることである。

解答例

点 $\mathrm{ Q }$ の座標を $(p,q,r)$ で表す。このとき、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }=(p-1,q-1,r-1)$ となる。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$ は垂直なので
\begin{eqnarray} (p-1,q-1,r-1)\cdot (1,1,0) &=& 0 \\[5pt] p+q &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }$ も垂直なので \begin{eqnarray} (p-1,q-1,r-1)\cdot (0,1,2) &=& 0 \\[5pt] q-1+2r-2 &=& 0 \\[5pt] q &=& -2r+3 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。\[ p=2-q=2r-1 \]なので、点 $\mathrm{ Q }$ の座標は $(2r-1,-2r+3,r)$ と書ける。

線分 $\mathrm{ PQ }$ の中点を $\mathrm{ M }$ とすると、この座標は\[ \left(\frac{2r-1+1}{2},\frac{-2r+3+1}{2},\frac{r+1}{2}\right) = \left(r,-r+2,\frac{r+1}{2}\right) \]である。この $\mathrm{ M }$ は平面 $\alpha$ 上の点でもあるので、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ BM } }=\alpha\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }+\beta\overrightarrow{ \mathrm{ BC } } \]を満たす $\alpha,\beta$ が存在する。成分で表すと
\begin{eqnarray} \left(r,-r+2+1,\frac{r+1}{2}\right) &=& \alpha(1,1,0)+\beta(0,1,2) \\[5pt] \left(r,-r+3,\frac{r+1}{2}\right) &=& (\alpha,\alpha+\beta,2\beta) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。これより、 $\alpha=r$ であり、 $\alpha+\beta=-r+3$ から $\beta=-2r+3$ が得られる。また \begin{eqnarray} \frac{r+1}{2} &=& 2\beta \\[5pt] r+1 &=& 4(-2r+3) \\[5pt] 9r &=& 11 \\[5pt] r &=& \frac{11}{9} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められる。

以上から、点 $\mathrm{ Q }$ の座標は
\begin{eqnarray} & & \left(2r-1,-2r+3,r\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{22}{9}-1,-\frac{22}{9}+3,\frac{11}{9}\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(終)

解答編 続き

問題

問2 赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、 $n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類すべての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただし $n$ は4以上の整数とする。

解答例

$n-1$ 回目までで、赤以外の3種類がすべて記録済みで、 $n$ 回目に赤玉が取り出される確率を求めればよい。そのため、 $n-1$ 回目までで、赤以外の3種類がすべて記録済みとなる場合の数を考える。

まず、 $n-1$ 回目までで、赤以外のある1種類だけが記録済みとなる場合の数は、 $3$ 通りである。

次に、 $n-1$ 回目までで、赤以外のある2種類だけが記録済みとなる場合の数を考える。どの色が記録済みとなっているか、選び方が ${}_3\mathrm{C}_2=3$ 通りある。色を決めた後は、「2種類以内を記録する場合」から「片方の色だけが記録される場合」を引けば「2種類だけが記録される場合」が求められる。よって、2種類だけが記録済みとなる場合の数は\[ 3(2^{n-1}-2) \]となる。

赤以外の3種類がすべて記録済みとなるのは、「3種類以内」の場合から「2種類」と「1種類」の場合を引けばいいので\[ 3^{n-1}-3(2^{n-1}-2)-3=3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3 \]通りとなる。

よって、求める確率は\[ \frac{3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3}{4^n} \]である。

(終)

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