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京都大学 理系 2021年度 第2問 解説

問題編

問題

 曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし、その交点を Q とおく。線分 PQ の長さを $L$ とするとき、 $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。

考え方

図形は複雑ではなく、 $L$ もそこまでめんどうな式にはなりません。最小値を求めるにはやることは決まっているので、計算を間違わないようにすすめていきましょう。


解答編

問題

 曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし、その交点を Q とおく。線分 PQ の長さを $L$ とするとき、 $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。

解答例

P の $x$ 座標を $p$ とする。曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ は $y$ 軸について対称なので、 $p\geqq 0$ としてよい。

$y'=x$ なので、点 P における接線は $p=0$ のとき以外は必ず $x$ 軸と交わり、 $p=0$ のときは交わらない。そのため、以下では $p\gt 0$ の範囲で考える。

接線の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& p(x-p)+\frac{1}{2}(p^2+1) \\[5pt] &=& px-\frac{p^2}{2}+\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray} $y=0$ とすると \begin{eqnarray} px &=& \frac{p^2}{2}-\frac{1}{2} \\[5pt] x &=& \frac{p}{2}-\frac{1}{2p} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、これが点 Q の $x$ 座標である。 $p\gt 0$ より、この値は $p$ より小さいので、2点 P, Q の $x$ 座標の差は \begin{eqnarray} p-\left( \frac{p}{2}-\frac{1}{2p} \right) = \frac{p}{2}+\frac{1}{2p} \end{eqnarray}と書ける。直線 PQ の傾きは $p$ なので、 $L$ はこれを $\sqrt{1+p^2}$ 倍したものである。よって \begin{eqnarray} L &=& \sqrt{1+p^2} \left(\frac{p}{2}+\frac{1}{2p}\right) \\[5pt] &=& \sqrt{1+p^2} \cdot \frac{p^2+1}{2p} \\[5pt] &=& \frac{(p^2+1)^{3/2} }{2p} \\[5pt] \end{eqnarray}と表すことができる。これを $f(p)$ とおくと \begin{eqnarray} f'(p) &=& \frac{\frac{3}{2}(p^2+1)^{1/2}\cdot 2p\cdot 2p-(p^2+1)^{3/2}\cdot 2}{(2p)^2} \\[5pt] &=& \frac{6p^2(p^2+1)^{1/2}-2(p^2+1)(p^2+1)^{1/2} }{4p^2} \\[5pt] &=& \frac{(3p^2-p^2-1)(p^2+1)^{1/2} }{2p^2} \\[5pt] &=& \frac{(2p^2-1)(p^2+1)^{1/2} }{2p^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、増減表は次のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} p & 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2} } & \cdots \\ \hline f'(p) & & - & 0 & + \\ \hline f(p) & \times & \searrow & & \nearrow \end{array}よって、 $L$ は $p=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ に最小値をとる。その最小値は \begin{eqnarray} f\left(\frac{1}{2}\right) &=& \frac{(\frac{1}{2}+1)^{3/2} }{2\cdot\frac{1}{\sqrt{2} }} \\[5pt] &=& \frac{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2} }}{\sqrt{2} } \\[5pt] &=& \frac{3\sqrt{3} }{4} \end{eqnarray}である。

(終)

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