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京都大学 理系 2021年度 第4問 解説

問題編

問題

 曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ。

考え方

積分を計算するだけですが、練習していないとなかなか難しいです。いろんなパターンをマスターしていないと行き詰ってしまいます。


解答編

問題

 曲線 $y=\log(1+\cos x)$ の $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分の長さを求めよ。

解答例

$f(x)=\log(1+\cos x)$ とすると、求める長さは\[ \int_0^{\pi/2} \sqrt{1+(f'(x))^2} dx \]である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲では
\begin{eqnarray} & & \sqrt{1+(f'(x))^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1+ \left(\frac{-\sin x}{1+\cos x}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2 x} }{1+\cos x} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{2+2\cos x} }{1+2\cos^2\frac{\pi}{2}-1} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{2+2(2\cos^2\frac{x}{2}-1)} }{2\cos^2\frac{x}{2} } \\[5pt] &=& \frac{2\cos\frac{x}{2} }{2\cos^2\frac{x}{2} } \\[5pt] &=& \frac{\cos\frac{x}{2} }{1-\sin^2\frac{x}{2} } \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left(\frac{\cos\frac{x}{2} }{1+\sin\frac{x}{2} } +\frac{\cos\frac{x}{2} }{1-\sin\frac{x}{2} }\right) \end{eqnarray}と変形できる。よって、求める長さは \begin{eqnarray} & & \int_0^{\pi/2} \sqrt{1+(f'(x))^2} dx \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \left(\frac{\cos\frac{x}{2} }{1+\sin\frac{x}{2} } +\frac{\cos\frac{x}{2} }{1-\sin\frac{x}{2} }\right) dx \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \left[ 2\log\left(1+\sin\frac{x}{2}\right) -2\log\left(1-\sin\frac{x}{2}\right) \right]_0^{\pi/2} \\[5pt] &=& \log\left(1+\frac{\sqrt{2} }{2}\right)-\log\left(1+\frac{\sqrt{2} }{2}\right) \\[5pt] &=& \log \frac{2+\sqrt{2} }{2-\sqrt{2} } \\[5pt] &=& \log \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2} \\[5pt] &=& \log (3+2\sqrt{2}) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(終)

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