京都大学 理系 2019年度 第1問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする。 $\cos\theta$ は有理数ではないが、 $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ がともに有理数となるような $\theta$ の値を求めよ。ただし、 $p$ が素数のとき、 $\sqrt{p}$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

問2 次の定積分の値を求めよ。

(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x}dx$

(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos x}$

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日常学習と入試対策への必須問題を漏れなく収録。章トビラに、その章で扱う例題とコラムの一覧を掲載。本文は、定理や公式など、問題を解く上で基本となるものをまとめた「基本事項」、教科書で扱われているレベルの問題が中心の「基本例題」、入試対策に向けた、応用力の定着に適した問題がそろった「重要例題」などで構成。各単元末には、例題に関連する問題を取り上げた「EXERCISES」を収録。他の単元の内容が絡んだ問題や、応用度がかなり高い問題を題材とする例題は、「関連発展問題」として適宜章末などに収録。巻末には、基本~標準レベルの入試問題を中心に取り上げた「総合演習」、大学入学共通テストの対策ができる「実践編」を収録。
著者:チャート研究所
出版社:数研出版
発売日:2019-11-01
ページ数: ページ
値段:¥2,365
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

問1は、 $\sin$ に関する情報がないので、 $\sin$ が出てこない公式を使って変形しましょう。

問2は、どちらもどこかで一度は計算している内容でしょう。よく練習していないと、とっさには出てこないかもしれません。特に、(2)は、流れが頭に入っていないと、その場で思いつくのは難しそうです。

小問ですが、どちらも簡単というわけではありません。