京都大学 理系 2019年度 第1問 解説

問題編

問題

 次の各問に答えよ。

問1 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする。 $\cos\theta$ は有理数ではないが、 $\cos 2\theta$ と $\cos 3\theta$ がともに有理数となるような $\theta$ の値を求めよ。ただし、 $p$ が素数のとき、 $\sqrt{p}$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

問2 次の定積分の値を求めよ。

(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x}dx$

(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos x}$

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考え方

問1は、 $\sin$ に関する情報がないので、 $\sin$ が出てこない公式を使って変形しましょう。

問2は、どちらもどこかで一度は計算している内容でしょう。よく練習していないと、とっさには出てこないかもしれません。特に、(2)は、流れが頭に入っていないと、その場で思いつくのは難しそうです。

小問ですが、どちらも簡単というわけではありません。