京都大学 理系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

 鋭角三角形 ABC を考え、その面積を S とする。 $0\lt t\lt 1$ を満たす実数 $t$ に対し、線分 AC を $t:1-t$ に内分する点を Q、線分 BQ を $t:1-t$ に内分する点を P とする。実数 t がこの範囲を動くときに点 P の描く曲線と、線分 BC によって囲まれる部分の面積を、 S を用いて表せ。

考え方

よくわからない曲線で囲まれた部分の面積なので、積分を使うことが予想できます。 $t$ を媒介変数だと思って積分することを考えましょう。

$t=0,1$ とはなりませんが、限りなく近づけていくと考えてみると、 $t=0$ のときは、点 P は点 B と一致し、 $t=1$ のときは、点 P は点 C と一致します。 BC を $x$ 軸上に乗せて、点 P の座標を $t$ を使って書けば、何を積分すればいいかがわかるでしょう。