京都大学 理系 2019年度 第5問 解説

問題編

問題

 半径 $1$ の球面上の5点 $\mathrm{ A, B_1,B_2,B_3,B_4 }$ は、正方形 $\mathrm{ B_1B_2B_3B_4 }$ を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき、四角錐 $\mathrm{ AB_1B_2B_3B_4 }$ の体積の最大値を求めよ。

【広告】
□ 数学嫌いでも知らないともったいない「本当に使える数学」だけ凝縮
□ 灘、開成、東大、京大…絶対に飽きさせない「傑出した名問」を収録
著者: 永野 裕之
出版社: 大和書房
発売日: 2018/08/22
208ページ

考え方

底面を固定したとき、体積が最大になるような点 A の位置は、図をかけばすぐにわかるでしょう。何を変数で置くか、いくつか候補がありますが、底面積を計算するときに、うまくルートがなくなるものを選びましょう。