京都大学 理系 2019年度 第5問 解説

問題編

問題

 半径 $1$ の球面上の5点 $\mathrm{ A, B_1,B_2,B_3,B_4 }$ は、正方形 $\mathrm{ B_1B_2B_3B_4 }$ を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき、四角錐 $\mathrm{ AB_1B_2B_3B_4 }$ の体積の最大値を求めよ。

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考え方

底面を固定したとき、体積が最大になるような点 A の位置は、図をかけばすぐにわかるでしょう。何を変数で置くか、いくつか候補がありますが、底面積を計算するときに、うまくルートがなくなるものを選びましょう。