京都大学 理系 2019年度 第4問 解説

問題編

問題

 1つのさいころを n 回続けて投げ、出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とする。このとき次の条件をみたす確率を n を用いて表せ。ただし $X_0=0$ としておく。

 条件: $1\leqq k\leqq n$ をみたす k のうち、 $X_{k-1}\leqq 4$ かつ $X_k\geqq 5$ が成立するような k の値はただ1つである。

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考え方

こういう問題では、よく、 $n-1$ と $n$ との状況を比較して考えることが多いです。しかし、この問題では出る目の条件がわかりやすいので、漸化式を使わずに解いていきます。

いつ $4$ 以下の値に戻るか、に着目する方法と、何回続けて $5$ 以上が出るか、に着目する方法とがありますが、どちらにしても、正確に計算するのはなかなか難しいです。