京都大学 理系 2019年度 第2問 解説

問題編

問題

 $f(x)=x^3+2x^2+2$ とする。 $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 n をすべて求めよ。

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この本のテーマは《伝える》ことです。私たちは、この本で、数学的に正当な思考・数学的な事実を、どうすれば文章にして他者に伝えられるか、懸命に説明しています。
ちょっとした言葉づかい、論理的な説明の順序、条件と命題の違いの意識、いろいろな文字の立場の理解・・・・・・きっと、読者の皆さんの考えを読み手に《伝える》ために、すぐ役立つはずです。
著者: 﨑山 理史・松野 陽一郎
出版社: 旺文社
発売日: 2018/09/18
192ページ

考え方

$2x^2+2$ の部分は必ず偶数です。なので、 $n$ の偶奇と $n^3$ の偶奇と $f(n)$ の偶奇は一致します。 $f(n)$, $f(n+1)$ のどちらかは偶数ということなので、 n の候補はかなり絞ることができます。