京都大学 理系 2018年度 第5問 解説

問題編

問題

 曲線 $y=\log x$ 上の点 $\mathrm{ A }(t,\log t)$ における法線上に、点 B を $\mathrm{ AB }=1$ となるようにとる。ただし Bx 座標は t より大きいとする。

(1) 点 B の座標 $(u(t),v(t))$ を求めよ。また $\left(\dfrac{du}{dt},\dfrac{dv}{dt}\right)$ を求めよ。

(2) 実数 r は $0\lt r \lt 1$ を満たすとし、 tr から $1$ まで動くときに点 A と点 B が描く曲線の長さをそれぞれ $L_1(r)$, $L_2(r)$ とする。このとき、極限 $\displaystyle \lim_{r\to+0} \left(L_1(r)-L_2(r)\right)$ を求めよ。

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考え方

(1)は条件をもとに計算していくだけですが、(2)はそうはいきません。(1)の答えを見てあることにピンとこなければ、その後の計算はなかなか進みません。 $u’,v’$ の形をよく見て考えましょう。