京都大学 理系 2018年度 第6問 解説

問題編

問題

 四面体 ABCD は $\mathrm{ AC }=\mathrm{ BD }$, $\mathrm{ AD }=\mathrm{ BC }$ を満たすとし、辺 AB の中点を P、辺 CD の中点を Q とする。

(1) 辺 AB と線分 PQ は垂直であることを示せ。
(2) 線分 PQ を含む平面 $\alpha$ で四面体 ABCD を切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。

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考え方

(1)はベクトルを使い、内積を考えれば示すことができます。問題は(2)です。

(2)は、ベクトルを使って示すことは難しいでしょう。図形の性質を用いて、四面体の対称性を示さないといけません。