京都大学 理系 2018年度 第4問 解説

問題編

問題

 コインを n 回投げて複素数 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ を次のように定める。

(i) 1回目に表が出れば $z_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とし、裏が出れば $z_1=1$ とする。
(ii) $k=2,3,\cdots,n$ のとき、k 回目に表が出れば $z_k=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_{k-1}$ とし、裏が出れば $z_k=\overline{z_{k-1}}$ とする。ただし、 $\overline{z_{k-1}}$ は $z_{k-1}$ の共役複素数である。

このとき、 $z_n=1$ となる確率を求めよ。

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考え方

$z_k$ のとりうる値は限られています。まずはそこに気づくのがポイントです。それぞれのとる値の確率を求める、という方針で考え始めましょう。

確率漸化式を作る問題はよく出ています。少し変わった表現の仕方ですが、式さえできればあとは同じです。