京都大学 理系 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

 $\alpha$ は $0\lt \alpha \leqq\dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とし、四角形 ABCD に関する次の2つの条件を考える。

 (i) 四角形 ABCD は半径 $1$ の円に内接する。
 (ii) $\angle \mathrm{ ABC }=\angle \mathrm{ DAB }=\alpha$

 条件(i)と(ii) を満たす四角形のなかで、4辺の長さの積\[ k=\mathrm{ AB }\cdot\mathrm{ BC }\cdot\mathrm{ CD }\cdot\mathrm{ DA } \]が最大となるものについて、 k の値を求めよ。

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考え方

(i)の条件があるので、正弦定理を使って、角度を用いて辺の長さを表すことを考えましょう。ある角度を変数として、 k を変形していきます。

最後は、最大値をとることがあるか、きちんと述べるようにしましょう。