京都大学 理系 2013年度 第3問 解説

問題編

問題

 n を自然数とし、整式 $x^n$ を整式 $x^2-2x-1$ で割った余りを $ax+b$ とする。このとき ab は整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。

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考え方

余りをきれいな形で書くのは難しいので、数学的帰納法を使って示しましょう。 $x^k$ を割ったときの余りと $x^{k+1}$ を割ったときの余りの関係性を考えましょう。