【基本】整式の割り算
ここでは、筆算を使った整式の割り算を復習した後、整式の割り算に関する事項を整理していきます。
筆算を使った整式の割り算の復習
【基本】筆算を使った整式の割り算で見た通り、数の割り算のときのように、式の場合でも筆算を使って割り算を計算することができます。もう一度復習してみます。
まずは $2x^3$ の項を消すことを考えます。 $x$ の項はありませんが、スペースは開けておきましょう。
\begin{array}{r}
x\color{White}{-2}\\
2x^2+x-1 \
\overline{ ) \ 2x^3 -3x^2 \color{White}{+0x} \color{Black}{+1} } \\
\underline{ 2x^3 \color{White}{1}\color{Black}{+x^{2}} \color{White}{1}\color{Black}{-x}\ \color{White}{-1} } \\
-4x^{2} +\color{Black}{x}\ \color{Black}{+1} \\
\end{array}
続いて、 $-4x^2$ を消すことを考えます。
\begin{array}{r}
x-2\\
2x^2+x-1 \
\overline{ ) \ 2x^3 -3x^2\ \color{White}{+0x} \color{Black}{+1} } \\
\underline{ 2x^3 \color{White}{1}\color{Black}{+x^{2}}\ \ \color{White}{1}\color{Black}{-x}\ \color{White}{-1} } \\
-4x^{2}\ +\color{Black}{x}\ \color{Black}{+1} \\
\underline{ -4x^{2} -2x +2 } \\
3x-1
\end{array}
これ以上割ることができないので、ここで終了です。
この筆算の結果を式で書く場合、通常は次のように表します。
\begin{eqnarray}
& &
2x^3-3x^2+1 \\
&=&
(2x^2+x-1) (x-2) +3x-1
\end{eqnarray}最後に割れずに残った部分 $3x-1$ を含めて式で書くには、割り算の形よりも、このような掛け算を使った表現が便利なんですね。
意味を考えれば、上の式と筆算の内容が同じで、上の式が成り立つことは分かると思います。また、実際に右辺を展開して、左辺と等しくなることを確かめることもできます。
整式の割り算
整式（参考：【基本】整式とそれに関連する用語）の割り算は、上の筆算のように計算していきます。
筆算は、割られる式（上の例では $2x^3-3x^2+1$ ）の最高次数が消えるようにどんどんすすめていきます。そのため、最終的には割る式（上の例では $2x^2+x-1$ ）より低い次元の式があらわれ、そこで割り算が終了します。いつかはおわります。
また、この結果は、先ほどのように掛け算を使って表すことができます。
まとめると、こうなります。
この Q を「A を B で割ったときの商(quotient)」といい、 R を「A を B で割ったときの余り(remainder)」という。
また、 $R=0$ のとき、「A は B で割り切れる(divisible)」という。
商、余り、割り切れる、という言葉は、数の割り算のときと同じですね。
また、「それ以上割れるかどうか」を判断しやすくするために、割る前に、割る式も割られる式も降べきの順にしておく（次数が高い方から低い方に並べる）ことが大事です。
ちなみに、 $A=BQ+R$ を満たす Q, R は1組しかありません。理由を以下で説明しますが、少し難しいので飛ばしても構いません。
もし $A=BS+T$ となる、整式 S と、 B より次元の低い整式 T があったとします。このとき、
\begin{eqnarray}
BQ+R &=& BS+T \\
(Q-S)B &=& T-R \\
\end{eqnarray}となります。仮定より、右辺は B より次元が低いです。一方、左辺の次元は $Q-S=0$ でない場合は、 B の次元以上となり、矛盾します。よって、 $Q-S=0$ であり、 $T-R=0$ も得られます。 $Q=S$, $R=T$ なので、商と余りは1組に決まることがわかります。
とにかく、「商と余りは1組に決まるんだ」ということを覚えておけば、まずはOKです。
おわりに
ここでは、整式の割り算について見てきました。数の割り算との対応を考えながら理解していきましょう。
