京都大学 理系 2013年度 第5問 解説

問題編

問題

 $xy$ 平面内で、 $y$ 軸上の点 P を中心とする円 $C$ が2つの曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1: y=\sqrt{3} \log(1+x), \\[5pt] & & C_2: y=\sqrt{3} \log(1-x)
\end{eqnarray}とそれぞれ点 A, 点 B で接しているとする。さらに $\triangle \mathrm{ PAB }$ は AB が $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線 $C$, $C_1$, $C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

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考え方

まずは、点 A の座標を求めましょう。長さと角度の2つの攻め方がありますが、 AB が $x$ 軸と平行なので、角度を使うほうが求めやすいでしょう。

座標を求めた後は、積分をします。 $C, C_1, C_2$ で囲まれた部分を愚直に求めるのは大変なので、工夫して計算しましょう。

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