センター試験 数学II・数学B 2019年度 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$p, q を実数とし、関数 $f(x)=x^3+px^2+qx$ は $x=-1$ で極値 $2$ をとるとする。また、座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$, 放物線 $y=-kx^2$ を $D$, 放物線 $D$ 上の点 $(a,-ka^2)$ を A とする。ただし、 $k\gt 0$, $a\gt 0$ である。

(1) 関数 $f(x)$ が $x=-1$ で極値をとるので、 $f'(-1)=\myBox{ア}$ である。これと $f(-1)=2$ より、 $p=\myBox{イ}$, $q=\myBox{ウエ}$ である。よって、 $f(x)$ は $x=\myBox{オ}$ で極小値 $\myBox{カキ}$ をとる。

(2) 点 A における放物線 $D$ の接線を $\ell$ とする。 $D$ と $\ell$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ と $k$ を用いて表そう。

 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{クケ}kax+ka^{\myBox{コ}}\quad \cdots ① \]と表せる。 $\ell$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ であり、 $D$ と $x$ 軸および直線 $x=a$ で囲まれた図形の面積は $\dfrac{k}{\myBox{ス}}a^{\myBox{セ}}$ である。よって、 $S=\dfrac{k}{\myBox{ソタ}}a^{\mybox{セ}}$ である。

(3) さらに、点 A が曲線 $C$ 上にあり、かつ(2)の接線 $\ell$ が $C$ にも接するとする。このときの(2)の $S$ の値を求めよう。

 A が $C$ 上にあるので、 $k=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}-\myBox{テ}$ である。

 $\ell$ と $C$ の接線の $x$ 座標を $b$ とすると、 $\ell$ の方程式は $b$ を用いて\[ y=\myBox{ト} \left(b^2-\myBox{ナ}x\right)-\myBox{ニ}b^2 \quad \cdots ② \]と表される。②の右辺を $g(x)$ とおくと\[ f(x)-g(x)=\left(x-\myBox{ヌ}\right)^2 \left(x+\myBox{ネ}b\right) \]と因数分解されるので、 $a=-\mybox{ネ}b$ となる。①と②の表す直線の傾きを比較することにより、 $a^2=\dfrac{\myBox{ノハ} }{\myBox{ヒ}}$ である。

 したがって、求める $S$ の値は $\dfrac{\myBox{フ}}{\myBox{ヘホ}}$ である。

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考え方

(1)は、微分の基本的な問題です。後半は、増減表をかいて考えましょう。

(2)は、図をかいてみると、どこを計算すればいいかわかりやすくなります。スセを求めるには積分を使いますが、その次の $S$ を求めるのは、積分を使わなくても構いません。

(3)は、どの直線・曲線を考えているのかわかりにくいですが、 $\ell$ に着目しながら考えていくとわかりやすいかもしれません。後半の計算は、微分・積分の計算というよりは、ただの式の値を求める計算になってしまっています。