センター試験 数学II・数学B 2019年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$初項が $3$ 、公比が $4$ の等比数列の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、数列 $\{T_n\}$ は、初項が $-1$ であり、 $\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ であるような数列とする。

(1) $S_2=\myBox{アイ}$, $T_2=\myBox{ウ}$ である。

(2) $\{S_n\}$ と $\{T_n\}$ の一般項は、それぞれ
\begin{eqnarray}
S_n &=& \myBox{エ}^{\myBox{オ}}-\myBox{カ} \\[5pt] T_n &=& \frac{\myBox{キ}^\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}-n-\frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。ただし、 $\myBox{オ}$ と $\myBox{ク}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

 0: $n-1$
 1: $n$

 2: $n+1$
 3: $n+2$
 4: $n+3$

(3) 数列 $\{a_n\}$ は、初項が $-3$ であり、漸化式\[ na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすとする。 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。

 そのために、 $b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列 $\{b_n\}$ を考える。 $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{シス}$ である。

 $\{T_n\}$ は漸化式\[ T_{n+1}=\myBox{セ}T_n+\myBox{ソ}n+\myBox{タ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすから、 $\{b_n\}$ は漸化式\[ b_{n+1}=\myBox{チ}b_n+\myBox{ツ} \ (n=1,2,3,\cdots) \]を満たすことがわかる。よって、 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n=\myBox{テト}\cdot\mybox{チ}^{\myBox{ナ}}-\myBox{ニ} \]である。ただし、 $\myBox{ナ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $n-1$
 1: $n$

 2: $n+1$
 3: $n+2$
 4: $n+3$

 したがって、 $\{ T_n \}$, $\{b_n\}$ の一般項から $\{a_n\}$ の一般項を求めると\[ a_n = \frac{ \myBox{ヌ} \left(\myBox{ネ}n+\myBox{ノ}\right)\mybox{チ}^{\mybox{ナ}}+\myBox{ハ}}{\myBox{ヒ}} \]である。

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考え方

前半は標準的な問題ですが、後半は漸化式の部分がかなりやっかいです。セやチは、 $\{T_n\}$ の一般項から推測することも可能ですが、推測なしで式変形だけで計算していくにはヒントが無さすぎます。

$\{T_n\}$ の漸化式は、 $4^n$ を消す方針で考えてみましょう。 $\{b_n\}$ の漸化式は、 $\{a_n\}$ が満たす漸化式を $n(n+1)$ で割って考えてみましょう。

一番最後は、計算間違いに注意する必要はありますが、代入するだけです。そこにたどりつくまでがしんどいです。