センター試験 数学II・数学B 2019年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$連立方程式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1 & \quad & \cdots ② \\[5pt] \left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 & \quad & \cdots ③ \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}を満たす実数 x, y を求めよう。

 真数の条件により、 x, y のとり得る値の範囲は $\myBox{タ}$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 0: $x\gt 0$, $y\gt 0$
 1: $x\gt 2$, $y\gt 3$
 2: $x\gt -2$, $y\gt -3$

 3: $x\lt 0$, $y\lt 0$
 4: $x\lt 2$, $y\lt 3$
 5: $x\lt -2$, $y\lt -3$


 底の変換公式により\[ \log_4(y+3)=\dfrac{\log_2(y+3)}{\myBox{チ}} \]である。よって、②から\[ y=\myBox{ツ}x+\myBox{テ} \quad \cdots ④ \]が得られる。

 次に $t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき、④を用いて③を t の方程式に書き直すと\[ t^2-\myBox{トナ}t+\myBox{ニヌ}=0 \quad \cdots ⑤ \]が得られる。また、 x が $\mybox{タ}$ における x の範囲を動くとき、 t のとり得る値の範囲は\[ \myBox{ネ}\lt t\lt \myBox{ノ} \quad\cdots ⑥ \]である。

 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと、 $t=\myBox{ハ}$ となる。したがって、連立方程式 ②, ③を満たす実数 x, y の値は
\begin{eqnarray}
x=\log_3 \frac{\myBox{ヒ}}{\myBox{フ}} \\[5pt] y=\log_3 \frac{\myBox{ヘ}}{\myBox{ホ}} \\[5pt] \end{eqnarray}であることがわかる。

考え方

指数関数・対数関数の基本的な計算を用いた問題です。底の変換公式も、標準的な使い方です。

後半も計算がそれほど煩雑にはなりません。