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センター試験 数学II・数学B 2019年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 連立方程式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1 & \quad & \cdots ② \\[5pt] \left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 & \quad & \cdots ③ \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}を満たす実数 x, y を求めよう。

 真数の条件により、 x, y のとり得る値の範囲は $\myBox{タ}$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 0: $x\gt 0$, $y\gt 0$
 1: $x\gt 2$, $y\gt 3$
 2: $x\gt -2$, $y\gt -3$

 3: $x\lt 0$, $y\lt 0$
 4: $x\lt 2$, $y\lt 3$
 5: $x\lt -2$, $y\lt -3$


 底の変換公式により\[ \log_4(y+3)=\dfrac{\log_2(y+3)}{\myBox{チ} } \]である。よって、②から\[ y=\myBox{ツ}x+\myBox{テ} \quad \cdots ④ \]が得られる。

 次に $t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき、④を用いて③を t の方程式に書き直すと\[ t^2-\myBox{トナ}t+\myBox{ニヌ}=0 \quad \cdots ⑤ \]が得られる。また、 x が $\mybox{タ}$ における x の範囲を動くとき、 t のとり得る値の範囲は\[ \myBox{ネ}\lt t\lt \myBox{ノ} \quad\cdots ⑥ \]である。

 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと、 $t=\myBox{ハ}$ となる。したがって、連立方程式 ②, ③を満たす実数 x, y の値は
\begin{eqnarray} x=\log_3 \frac{\myBox{ヒ} }{\myBox{フ} } \\[5pt] y=\log_3 \frac{\myBox{ヘ} }{\myBox{ホ} } \\[5pt] \end{eqnarray}であることがわかる。

考え方

指数関数・対数関数の基本的な計算を用いた問題です。底の変換公式も、標準的な使い方です。

後半も計算がそれほど煩雑にはなりません。


【必答問題】

解答編

問題

 連立方程式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1 & \quad & \cdots ② \\[5pt] \left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 & \quad & \cdots ③ \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}を満たす実数 x, y を求めよう。

 真数の条件により、 x, y のとり得る値の範囲は $\myBox{タ}$ である。 $\myBox{タ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 0: $x\gt 0$, $y\gt 0$
 1: $x\gt 2$, $y\gt 3$
 2: $x\gt -2$, $y\gt -3$

 3: $x\lt 0$, $y\lt 0$
 4: $x\lt 2$, $y\lt 3$
 5: $x\lt -2$, $y\lt -3$

解説

「真数の条件」とは、真数が正である、という条件のことです。②に出てくる、 $\log_2(x+2)$, $\log_4(y+3)$ は、どちらも真数が正でないといけないので、 $x+2\gt 0$, $y+3\gt 0$ 、つまり、 $x\gt -2$, $y\gt -3$ が成り立たなければいけません。

解答

タ:2

解答編 つづき

問題

 底の変換公式により\[ \log_4(y+3)=\dfrac{\log_2(y+3)}{\myBox{チ} } \]である。よって、②から\[ y=\myBox{ツ}x+\myBox{テ} \quad \cdots ④ \]が得られる。

解説

底の変換公式を使い、底を $4$ から $2$ に変えると
\begin{eqnarray} \log_4(y+3) &=& \frac{\log_2(y+3)}{\log_2 4} \\[5pt] &=& \frac{\log_2(y+3)}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

これより、②を変形していくと
\begin{eqnarray} \log_2(x+2)-2\log_4(y+3) &=& -1 \\[5pt] \log_2(x+2)-2\cdot \frac{\log_2(y+3)}{2} &=& \log_2 \frac{1}{2} \\[5pt] \log_2(x+2)-\log_2(y+3) &=& \log_2 \frac{1}{2} \\[5pt] \log_2 \frac{x+2}{y+3} &=& \log_2 \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 \begin{eqnarray} \frac{x+2}{y+3} &=& \frac{1}{2} \\[5pt] 2(x+2) &=& y+3 \\[5pt] y &=& 2x+1 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

チツテ:221

解答編 つづき

問題

 次に $t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき、④を用いて③を t の方程式に書き直すと\[ t^2-\myBox{トナ}t+\myBox{ニヌ}=0 \quad \cdots ⑤ \]が得られる。

解説

$t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき、先ほど得られた $y=2x+1$ も使って変形していきます。
\begin{eqnarray} \left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6 &=& 0 \\[5pt] \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+1}-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6 &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{3} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x}-\frac{11}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^x+6 &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{3} t^2-\frac{11}{3}t+6 &=& 0 \\[5pt] t^2-11t+18 &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

トナニヌ:1118

解答編 つづき

問題

また、 x が $\mybox{タ}$ における x の範囲を動くとき、 t のとり得る値の範囲は\[ \myBox{ネ}\lt t\lt \myBox{ノ} \quad\cdots ⑥ \]である。

解説

$t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ なので、 $t$ は正の値しかとりません。また、タで求めた真数条件から、 $x\gt -2$ であり、底が $1$ より小さいので、\[ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x \lt \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=9 \]となります。

よって、 $0\lt t\lt 9$ となります。

解答

ネノ:09

解答編 つづき

問題

 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと、 $t=\myBox{ハ}$ となる。したがって、連立方程式 ②, ③を満たす実数 x, y の値は
\begin{eqnarray} x=\log_3 \frac{\myBox{ヒ} }{\myBox{フ} } \\[5pt] y=\log_3 \frac{\myBox{ヘ} }{\myBox{ホ} } \\[5pt] \end{eqnarray}であることがわかる。

解答

⑤を解くと、
\begin{eqnarray} t^2-11t+18 &=& 0 \\[5pt] (t-9)(t-2) &=& 0 \\[5pt] t &=& 2,9 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。このうち、 $0\lt t\lt 9$ を満たしているものは、 $t=2$ のみです。

$t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ だったので、このときの $x$ は
\begin{eqnarray} \left(\dfrac{1}{3}\right)^x &=& 2 \\[5pt] 3^{-x} &=& 2 \\[5pt] \log_3 3^{-x} &=& \log_3 2 \\[5pt] -x &=& \log_3 2 \\[5pt] x &=& -\log_3 2 \\[5pt] &=& \log_3 \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $y=2x+1$ なので \begin{eqnarray} y &=& 2\log_3 \frac{1}{2} +1 \\[5pt] &=& \log_3 \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 3 \\[5pt] &=& \log_3 \frac{3}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ハ:2
ヒフ:12
ヘホ:34

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