センター試験 数学II・数学B 2019年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$関数 $f(\theta)=3\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$ を考える。

(1) $f(0)=\myBox{アイ}$, $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\myBox{ウ}+\sqrt{\myBox{エ}}$ である。

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると、 $\cos^2\theta=\dfrac{\cos2\theta+\myBox{オ}}{\myBox{カ}}$ となる。さらに、 $\sin 2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表すと\[ f(\theta)=\myBox{キ}\sin2\theta-\myBox{ク}\cos2\theta+\myBox{ケ}\quad \cdots ① \]となる。

(3) $\theta$ が $0\leqq \theta \leqq \pi$ の範囲を動くとき、関数 $f(\theta)$ のとり得る最大の整数の値 $m$ とそのときの $\theta$ の値を求めよう。

 三角関数の合成を用いると、①は\[ f(\theta)=\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}}\sin \left(2\theta-
\dfrac{\pi}{\myBox{シ}}\right)+\mybox{ケ} \]と変形できる。したがって $m=\myBox{ス}$ である。

 また、 $0\leqq \theta\leqq \pi$ において、 $f(\theta)=\mybox{ス}$ となる $\theta$ の値は、小さい順に、 $\dfrac{\pi}{\myBox{セ}}$, $\dfrac{\pi}{\myBox{ソ}}$ である。

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考え方

(2)のような、公式を使って元の関数を変形する問題は、よく出題されています。使う公式も指定されていて、それほどひねりのある変形は出てきません。

(3)のように、合成を使って関数の最大・最小を考える問題も、よく出題されていますね。展開して元に戻ることを確かめるようにしましょう。「整数値を考える」という点が少し変わっていますが、特に難しくなるわけではありません。関数のとり得る値を考えましょう。