センター試験 数学II・数学B 2019年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 29 ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) ある食品を摂取したときに、血液中の物質 A の量がどのように変化するか調べたい。食品摂取前と摂取してから 3 時間後に、それぞれ一定量の血液に含まれる物質 A の量(単位は mg) を測定し、その変化量、すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数を $X$ とする。 $X$ の期待値(平均)は $E(X)=-7$ 、標準偏差は $\sigma(X)=5$ とする。

 このとき、 $X^2$ の期待値は $E(X^2)=\myBox{アイ}$である。

 また、測定単位を変更して $W = 1000X$ とすると、その期待値は $E(W) =-7\times 10^{\myBox{ウ}}$ 、分散は $V(W) = 5^{\myBox{エ}} \times 10^{\myBox{オ}}$ となる。


(2) (1)の $X$ が正規分布に従うとするとき、物質 A の量が減少しない確率 $P(X \geqq 0)$ を求めよう。この確率は\[ P(X\geqq 0)=P \left(\dfrac{X+7}{5}\geqq \myBox{カ}.\myBox{キ}\right) \]であるので、標準正規分布に従う確率変数を $Z$ とすると、正規分布表から、 次のように求められる。\[ P(Z\geqq \mybox{カ}.\mybox{キ})=0.\myBox{クケ} \quad\cdots ① \]

 無作為に抽出された 50 人がこの食品を摂取したときに、物質 A の量が減少するか、減少しないかを考え、物質 A の量が減少しない人数を表す確率変数を $M$ とする。 $M$ は二項分布 $B(50, 0.\mybox{クケ})$ に従うので、期待値は $E(M)=\myBox{コ}.\myBox{サ}$ 、標準偏差は $\sigma(M)=\sqrt{\myBox{シ}.\myBox{ス}}$ となる。ただし、 $0.\mybox{クケ}$ は①で求めた小数第 2 位までの値とする。


(3) (1)の食品摂取前と摂取してから 3 時間後に、それぞれ一定量の血液に含まれる別の物質 B の量(単位は mg) を測定し、その変化量、すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数を $Y$ とする。 $Y$ の母集団分布は母平均 $m$ 、母標準偏差 $6$ をもつとする。 $m$ を推定するため、母集団から無作為に抽出された 100 人に対して物質 B の変化量を測定したところ、標本平均 $\bar{Y}$ の値は $-10.2$ であった。

 このとき、 $\bar{Y}$ の期待値は $E(\bar{Y})= m$ 、標準偏差は $\sigma(\bar{Y})=\myBox{セ}.\myBox{ソ}$ である。 $\bar{Y}$ の分布が正規分布で近似できるとすれば、 $Z=\dfrac{\bar{Y}-m}{\mybox{セ}.\mybox{ソ}}$ は近似的に標準正規分布に従うとみなすことができる。

 正規分布表を用いて $|Z|\leqq 1.64$ となる確率を求めると $0.\myBox{タチ}$ となる。このことを利用して、母平均 $m$ に対する信頼度 $\mybox{タチ}$ %の信頼区間、すなわち、 $\mybox{タチ}$ %の確率で $m$ を含む信頼区間を求めると、 $\myBox{ツ}$ となる。 $\myBox{ツ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $-11.7\leqq m\leqq -8.7$
 1: $-11.4\leqq m\leqq -9.0$

 2: $-11.2\leqq m\leqq -9.2$
 3: $-10.8\leqq m\leqq -9.6$

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考え方

(1)は、期待値や分散に関する問題です。一番初めは、分散ではないことに注意しましょう。

(2)は、正規分布を標準正規分布に変換する問題で、よく出るタイプですね。それと二項分布と関連させた問題もよく出る問題です。

(3)は、母平均の推定の話で、これもよく出るタイプです。

最近よく出ているタイプの問題が集まっていて、どれも変なひねり方はありません。オーソドックスなタイプばかりなので、教科書の内容がわかっていれば対応できるレベルです。