センター試験 数学II・数学B 2015年度 第2問 解説
問題編
【問題】
(1) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2$の$x=a$における微分係数$f'(a)$を求めよう。hが0でないとき、xがaから$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は$\displaystyle [ア]+\frac{h}{[イ]}$である。したがって、求める微分係数は\[ f'(a) = \lim_{h\to [ウ]}\left( [ア]+\frac{h}{[イ]} \right) = [エ] \]である。(2) 放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$をCとし、C上に点$\displaystyle \mathrm{ P }\left( a,\frac{1}{2}a^2 \right)$をとる。ただし、$a\gt 0$とする。点PにおけるCの接線lの方程式は\[ y=[オ]x -\frac{1}{[カ]}a^2 \]である。直線lとx軸との交点Qの座標は$\left( \frac{[キ]}{[ク]}, 0 \right)$である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は\[ y=\frac{[ケコ]}{[サ]}x +\frac{[シ]}{[ス]} \]である。
直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと\[ S=\frac{a(a^2+[セ])}{[ソ]} \]となる。また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと\[ T=\frac{a(a^2+[タ])}{[チツ]} \]となる。
$a \gt 0$の範囲における$S-T$の値について調べよう。\[ S-T = \frac{a(a^2-[テ])}{[トナ]} \]である。$a\gt 0$であるから、$S-T \gt 0$となるようなaのとり得る値の範囲は$a \gt \sqrt{[ニ]}$である。また、$a \gt 0$のときの$S-T$の増減を調べると、$S-T$は$a=[ヌ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ネノ]}{[ハヒ]}$をとることがわかる。
【考え方】
(1)は、微分を定義に沿って求める問題ですね。微分の定義は基本ですが、定義にさかのぼって計算することは少ないので、こう聞かれると答えられない人はいるかもしれません。教科書のはじめの方に載っているはずですが、覚えてないと答えるのは難しいかもしれません。
(2)では、三角形APQの面積Sは、図形的に考えて求めます。積分は使いません。Tは直線APの方程式を求めて積分する方法がオーソドックスだと思います。しかし、図形的に考えれば、計算量を減らしながら計算することができます。
計算量が多くなりがちなので、工夫をしないと時間がなくなってしまいます。
解答編
【問題】
(1) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2$の$x=a$における微分係数$f'(a)$を求めよう。hが0でないとき、xがaから$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は$\displaystyle [ア]+\frac{h}{[イ]}$である。
【解説】
平均変化率は、$f(x)$の変化幅をxの変化幅で割れば出てきます。$f(x)$の変化幅は、
\begin{eqnarray}
f(a+h)-f(a)
&=& \frac{(a+h)^2}{2}-\frac{a^2}{2} \\[5pt]
&=& ah+\frac{h^2}{2}
\end{eqnarray}なので、平均変化率は次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
&=& \frac{ ah+\frac{h^2}{2} }{h} \\[5pt]
&=& a+\frac{h}{2}
\end{eqnarray}
【解説】
アイ：a2
【問題】
したがって、求める微分係数は\[ f'(a) = \lim_{h\to [ウ]}\left( [ア]+\frac{h}{[イ]} \right) = [エ] \]である。
【解説】
微分の定義ですね。これは覚えていないと答えられないかもしれません。微分とは、変化幅を0に近づけたときの平均変化率の極限です。よって、次のようになります。
\begin{eqnarray}
f'(a)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[5pt]
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \left( a+\frac{h}{2} \right) \\[5pt]
&=& a
\end{eqnarray}
【解説】
ウエ：0a
【問題】
(2) 放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$をCとし、C上に点$\displaystyle \mathrm{ P }\left( a,\frac{1}{2}a^2 \right)$をとる。ただし、$a\gt 0$とする。点PにおけるCの接線lの方程式は\[ y=[オ]x -\frac{1}{[カ]}a^2 \]である。
【解説】
(1)の結果の通り、$f'(a)=a$なので、この直線の傾きはaです。なので、直線lの方程式は次のように求められます。
\begin{eqnarray}
y
&=& a(x-a) + \frac{1}{2}a^2 \\[5pt]
&=& ax -\frac{1}{2}a^2
\end{eqnarray}
【解答】
オカ：a2
【問題】
直線lとx軸との交点Qの座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]}, 0 \right)$である。
【解説】
直線lの方程式は、$y= ax -\frac{a^2}{2}$なので、これとx軸との交点Qのx座標は
\begin{eqnarray}
0 &=& ax -\frac{a^2}{2} \\
x &=& \frac{a}{2}
\end{eqnarray}と求められます。
【解答】
キク：a2
【問題】
点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は\[ y=\frac{[ケコ]}{[サ]}x +\frac{[シ]}{[ス]} \]である。
【解説】
直線lの傾きがaなので、これと直交する直線mの傾きは、$-\frac{1}{a}$となります。点Qの座標が$\left( \frac{a}{2}, 0 \right)$なので、直線mの方程式は
\begin{eqnarray}
y
&=& -\frac{1}{a} \left( x -\frac{a}{2} \right) \\[5pt]
&=& -\frac{1}{a}x +\frac{1}{2}
\end{eqnarray}となります。
【解答】
ケコサシス：-1a12
【問題】
直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと\[ S=\frac{a(a^2+[セ])}{[ソ]} \]となる。
【解説】
このあたりから、どうやって計算するかで計算量が変わってきます。まずは、図を描いてみます。
今まで求めたものもまとめると、点Pの座標は$\left( a,\frac{1}{2}a^2\right)$、点Qの座標は$\left( \frac{a}{2}, 0 \right)$です。また、直線PQの方程式が$y= ax -\frac{a^2}{2}$、直線AQの方程式が$-\frac{1}{a}x +\frac{1}{2}$です。このことから、点Aの座標が$\left( 0,\frac{1}{2}\right)$であることもわかります。
さて、上の図の色のついた部分の面積を求めます。直線PQとAQが直交しているので、$\frac{1}{2}\mathrm{ AQ } \cdot \mathrm{ PQ }$とやりたくなりますが、ルートの計算が出てくるのでめんどくさそうです。ここでは、次のように、台形から引き算をして求める、とやってみます。
点Pからx軸に垂線をおろし、交点をRとします。面積Sは、台形から三角形OAQと三角形PQRの面積を引けば求めることができます。台形の面積は、$\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}a^2 \right)\cdot a=\frac{a^3+a}{4}$なので、求める面積Sは
\begin{eqnarray}
S&=&
\frac{a^3+a}{4} -\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \left( a -\frac{a}{2} \right)\cdot \frac{1}{2}a^2 \\[5pt]
&=&
\frac{a^3+a}{4} -\frac{a}{8} -\frac{a^3}{8} \\[5pt]
&=&
\frac{a^3+a}{8} = \frac{a(a^2+1)}{8}
\end{eqnarray}となります。
【解答】
セソ：18
【解説】
なお、別解も書いておきます。
まず、$\frac{1}{2}\mathrm{ AQ } \cdot \mathrm{ PQ }$と計算する場合。三平方の定理を使うと、
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \sqrt{\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{a^2+1} }{2} \cdot \frac{a\sqrt{a^2+1} }{2} \\[5pt]
&=&
\frac{a(a^2+1)}{8}
\end{eqnarray}となります。今回はルートがうまく外れるので、それほど複雑な計算にはなりませんね。
また、OQとQRが同じ長さになることに注意すると、もう少し簡単に計算することができます（が、汎用性のある求め方ではないです）。APの中点の座標をBとすると、座標は$\left(\frac{a}{2},\frac{a^2+1}{4}\right)$となります。求める三角形の面積は、三角形ABQとPBQの面積の和なので、
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+1}{4} \cdot \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+1}{4} \cdot \frac{a}{2}
&=&
\frac{a(a^2+1)}{8}
\end{eqnarray}と出すことができます。これだとほとんど計算は不要ですが、今のような特殊なケースでしか適用することができません。
【問題】
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと\[ T=\frac{a(a^2+[タ])}{[チツ]} \]となる。
【解説】
面積Tを直接求めるには、APの式を出し、それと$\frac{1}{2}x^2$との差を積分する必要があります。しかし、これも台形から引く方針で計算すると少し楽になります。つまり、台形OAPRから、放物線CとORとPRで囲まれた部分を引けばいいわけです。
台形の面積は$\frac{1}{4}(a^3+a)$なので、
\begin{eqnarray}
T &=& \frac{a^3+a}{4} -\int_0^a \frac{x^2}{2} dx \\[5pt]
&=& \frac{a^3+a}{4} -\left[ \frac{x^3}{6} \right]_0^a \\[5pt]
&=& \frac{a^3+a}{4} -\frac{a^3}{6} \\[5pt]
&=& \frac{a^3+3a}{12} \\[5pt]
&=& \frac{a(a^2 + 3)}{12}
\end{eqnarray}となります。
【解答】
タチツ：312
【問題】
$a \gt 0$の範囲における$S-T$の値について調べよう。\[ S-T = \frac{a(a^2-[テ])}{[トナ]} \]である。$a\gt 0$であるから、$S-T \gt 0$となるようなaのとり得る値の範囲は$a \gt \sqrt{[ニ]}$である。
【解説】
SとTは今までで求めた通りなので、
\begin{eqnarray}
S-T
&=& \frac{a(a^2+1)}{8} - \frac{a(a^2 + 3)}{12} \\[5pt]
&=& \frac{(3a^3+3a) -(2a^3+6a)}{24} \\[5pt]
&=& \frac{a^3-3a}{24} \\[5pt]
&=& \frac{a(a^2-3)}{24} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
$a\gt 0$なので、$S-T \gt 0$となるのは、$a^2-3 \gt 0$とき、つまり、$a \gt \sqrt{3}$のとき、となります。
【解答】
テトナ：324
ニ：3
【問題】
また、$a \gt 0$のときの$S-T$の増減を調べると、$S-T$は$a=[ヌ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ネノ]}{[ハヒ]}$をとることがわかる。
【解説】
先ほど計算した通り、$S-T=\frac{1}{24}a(a^2-3)$です。右辺を$g(a)$と置きます。
まずは、$g'(a)=0$となるaを求めます。
\begin{eqnarray}
\frac{3a^2-3}{24} &=& 0 \\
a &=& \pm 1
\end{eqnarray}$a\gt 0$なので、$a=1$となります。増減表は次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc}
a & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \\
\hline
g'(a) & & - & 0 & + & \\
\hline
g(a) & & \searrow & & \nearrow &
\end{array}よって、$a=1$のとき最小となります。このときの$g(a)$は、$\frac{1(1^2-3)}{24}=-\frac{1}{12}$となります。
【解答】
ヌ：1
ネノハヒ：-112