問題編
【問題】
(1) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2$の$x=a$における微分係数$f'(a)$を求めよう。hが0でないとき、xがaから$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は$\displaystyle [ア]+\frac{h}{[イ]}$である。したがって、求める微分係数は\[ f'(a) = \lim_{h\to [ウ]}\left( [ア]+\frac{h}{[イ]} \right) = [エ] \]である。(2) 放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$をCとし、C上に点$\displaystyle \mathrm{ P }\left( a,\frac{1}{2}a^2 \right)$をとる。ただし、$a\gt 0$とする。点PにおけるCの接線lの方程式は\[ y=[オ]x -\frac{1}{[カ]}a^2 \]である。直線lとx軸との交点Qの座標は$\left( \frac{[キ]}{[ク]}, 0 \right)$である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は\[ y=\frac{[ケコ]}{[サ]}x +\frac{[シ]}{[ス]} \]である。
直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと\[ S=\frac{a(a^2+[セ])}{[ソ]} \]となる。また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと\[ T=\frac{a(a^2+[タ])}{[チツ]} \]となる。
$a \gt 0$の範囲における$S-T$の値について調べよう。\[ S-T = \frac{a(a^2-[テ])}{[トナ]} \]である。$a\gt 0$であるから、$S-T \gt 0$となるようなaのとり得る値の範囲は$a \gt \sqrt{[ニ]}$である。また、$a \gt 0$のときの$S-T$の増減を調べると、$S-T$は$a=[ヌ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ネノ]}{[ハヒ]}$をとることがわかる。
【考え方】
(1)は、微分を定義に沿って求める問題ですね。微分の定義は基本ですが、定義にさかのぼって計算することは少ないので、こう聞かれると答えられない人はいるかもしれません。教科書のはじめの方に載っているはずですが、覚えてないと答えるのは難しいかもしれません。
(2)では、三角形APQの面積Sは、図形的に考えて求めます。積分は使いません。Tは直線APの方程式を求めて積分する方法がオーソドックスだと思います。しかし、図形的に考えれば、計算量を減らしながら計算することができます。
計算量が多くなりがちなので、工夫をしないと時間がなくなってしまいます。