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センター試験 数学II・数学B 2015年度 第1問 [1] 解説

問題編

【問題】
Oを原点とする座標平面上の2点$\mathrm{ P }(2\cos \theta, 2\sin \theta)$、$\mathrm{ Q }(2\cos \theta +\cos 7\theta, 2\sin \theta +\sin 7\theta)$を考える。ただし、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする。

(1) $\mathrm{ OP }=[ア]$、$\mathrm{ PQ }=[イ]$である。また
\begin{eqnarray} \mathrm{ OQ }^2 &=& [ウ] + [エ](\cos 7\theta \cos \theta + \sin 7\theta \sin \theta) \\ &=& [ウ] + [エ] \cos( [オ]\theta) \end{eqnarray}である。

 よって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、OQは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[カ]}$のとき最大値$\sqrt{[キ]}$をとる。

(2) 3点OPQが一直線上にあるような$\theta$の値を求めよう。
 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

0: $(\cos \theta)x+(\sin \theta)y = 0$
1: $(\sin \theta)x+(\cos \theta)y = 0$
2: $(\cos \theta)x-(\sin \theta)y = 0$
3: $(\sin \theta)x-(\cos \theta)y = 0$

 このことにより、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、3点OPQが一直線上にあるのは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[ケ]}$のときであることがわかる。

(3) $\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\mathrm{ OQ }=\sqrt{[コ]}$のときである。したがって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、$\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\displaystyle \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi$のときである。

【考え方】
$7\theta$にびっくりしてしまいますが、(1)の途中から$6\theta$に変わり、扱いやすくなるので安心してください。

(2)もあまり見ない式の形ですが、直線の傾きを考えればどれが正しいかを選ぶのはそんなに難しくありません。

(3)は、三平方の定理を使います。各辺の長さはすでに求めてあるので出すのは簡単ですね。

この問題では、加法定理を逆に使って変形する場面がいくつかあります。


解答編

【問題】
Oを原点とする座標平面上の2点$\mathrm{ P }(2\cos \theta, 2\sin \theta)$、$\mathrm{ Q }(2\cos \theta +\cos 7\theta, 2\sin \theta +\sin 7\theta)$を考える。ただし、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする。

(1) $\mathrm{ OP }=[ア]$、$\mathrm{ PQ }=[イ]$である。

【解説】

$\cos^2\theta + \sin^2\theta=1$なので、$\mathrm{ OP }=2$となります。

PQは、原点と$(\cos7\theta,\sin7\theta)$との距離と等しいので、$\mathrm{ PQ }=1$となります。

【解答】
ア:2
イ:1

【問題】
また
\begin{eqnarray} \mathrm{ OQ }^2 &=& [ウ] + [エ](\cos 7\theta \cos \theta + \sin 7\theta \sin \theta) \\ &=& [ウ] + [エ] \cos( [オ]\theta) \end{eqnarray}である。

【解説】
\begin{eqnarray} \mathrm{ OQ }^2 &=& ( 2\cos\theta+\cos7\theta )^2 + ( 2\sin\theta+\sin7\theta )^2 \\ &=& 4 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) \\ & & + 4\cos\theta \cos7\theta + 4\sin\theta \sin7\theta \\ & & + (\cos^2 7\theta + \sin^2 7\theta) \\ &=& 5 + 4(\cos7\theta \cos\theta + \sin7\theta \sin\theta ) \\ &=& 5 + 4 \cos(7\theta - \theta) \\ &=& 5 + 4 \cos 6 \theta \end{eqnarray}となります。

後半の変形で、加法定理を逆に使っています。

【解答】
ウエオ:546

【問題】
 よって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、OQは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[カ]}$のとき最大値$\sqrt{[キ]}$をとる。

【解説】
$\pi/8 \leqq \theta \leqq \pi/4$の範囲で$\theta$が動くとき、$3\pi/4 \leqq 6\theta \leqq 3\pi/2$となります。この範囲で$\cos 6 \theta$が最大になるのは、$6\theta$が$3\pi/2$のとき、つまり、$\theta$が$\pi/4$の時です。このときOQも最大となります。

上の式から
\begin{eqnarray} \mathrm{ OQ }^2 &=& 5 + 4 \cos \frac{3\pi}{2} =5 \end{eqnarray}なので、OQの最大値は$\sqrt{5}$であることがわかります。

【解答】
カキ:45

【問題】
(2) 3点OPQが一直線上にあるような$\theta$の値を求めよう。
 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

0: $(\cos \theta)x+(\sin \theta)y = 0$
1: $(\sin \theta)x+(\cos \theta)y = 0$
2: $(\cos \theta)x-(\sin \theta)y = 0$
3: $(\sin \theta)x-(\cos \theta)y = 0$

【解説】
直線OPの式は、
\begin{eqnarray} y = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta } x \\ (\sin \theta)x - (\cos \theta) y = 0 \end{eqnarray}と書けます。

【解説】
ク:3

【問題】
 このことにより、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、3点OPQが一直線上にあるのは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[ケ]}$のときであることがわかる。

【解説】
「3点OPQが一直線上にある」というのを、「直線OPが点Qを通る」と考えます。そうすると、Qの座標を上の式([ク]で選んだ式)に代入しても成り立ちます。このとき、上の式の左辺は、次のようになります。
\begin{eqnarray} & & \sin \theta (2\cos\theta + \cos7\theta) - \cos \theta (2\sin\theta+\sin7\theta) \\ &=& \sin \theta \cos7\theta - \cos \theta \sin7\theta \\ &=& - ( \sin7\theta \cos\theta - \cos7\theta \sin \theta ) \\ &=& - \sin(7\theta-\theta) \\ &=& - \sin 6\theta \end{eqnarray}

これが、$3\pi/4 \leqq 6\theta \ \leqq 3\pi/2$の範囲で0になるので、$6\theta$は$\pi$、つまり、$\theta$は$\pi/6$となります。

【解答】
ケ:6

【問題】
(3) $\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\mathrm{ OQ }=\sqrt{[コ]}$のときである。

【解説】
$\angle \mathrm{ OQP }$が直角になる時、三平方の定理より\[\mathrm{ OP }^2=\mathrm{ OQ }^2+\mathrm{ QP }^2\]が成り立ちます。(1)で求めた通り、$\mathrm{ OP }=2$、$\mathrm{ PQ }=1$です。よって、OQは$\sqrt{3}$とわかります。

【解答】
コ:3

【問題】したがって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、$\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\displaystyle \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi$のときである。

【解説】
$\mathrm{ OQ }^2=3$なので、(1)の結果を使うと、
\begin{eqnarray} 3 &=& 5 + 4 \cos6 \theta \\ \cos6 \theta &=& -1/2 \end{eqnarray}が得られます。

$3\pi/4 \leqq 6\theta \ \leqq 3\pi/2$の範囲でこれを満たすのは、$6\theta$が$ 4\pi / 3 $のとき、つまり、$\theta$が$2\pi/9$の時となります。

【解答】
サシ:29

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