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センター試験 数学II・数学B 2015年度 第1問 [2] 解説

問題編

【問題】
a,bを正の実数とする。連立方程式
\begin{eqnarray} (\ast) \left\{ \begin{array}{l} x\sqrt{y^3} &=& a \\ \sqrt[3]{x} y &=& b \end{array} \right. \end{eqnarray}を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yは\[ x=a^{[ス]}b^{[セソ]}, \quad y=a^p b^{[タ]} \]となる。ただし\[ p=\frac{[チツ]}{[テ]} \]である。

(2) $b=2\sqrt[3]{a^4}$とする。aが$a\gt 0$の範囲を動くとき、連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yについて、$x+y$の最小値を求めよう。

 $b=2 \sqrt[3]{a^4}$であるから、$(\ast)$を満たす正の実数x,yは、aを用いて\[ x=2^{[セソ]}a^{[トナ]}, \quad y=2^{[タ]}a^{[ニ]} \]と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、$x+y$は$a=2^q$のとき最小値$\sqrt{[ヌ]}$をとることがわかる。ただし\[ q=\frac{[ネノ]}{[ハ]} \]である。

【考え方】
(1)は両辺の$\log$をとってから計算してもいいですし、両辺を何乗かして直接計算することもできます。

(2)の前半は指数関数の計算です。後半は「相加相乗を使う」と書いてあるので、その通り変形していけば答えが得られます。


解答編

【問題】
a,bを正の実数とする。連立方程式
\begin{eqnarray} (\ast) \left\{ \begin{array}{l} x\sqrt{y^3} &=& a \\ \sqrt[3]{x} y &=& b \end{array} \right. \end{eqnarray}を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yは\[ x=a^{[ス]}b^{[セソ]}, \quad y=a^p b^{[タ]} \]となる。ただし\[ p=\frac{[チツ]}{[テ]} \]である。

【解説】
1つ目の式を2乗し、2つ目の式を3乗すると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2 y^3 &=& a^2 \\ x y^3 &=& b^3 \end{array} \right. \end{eqnarray}となります。辺々割ると、$x=a^2 b^{-3}$となります。

これを2つ目の式に代入すると
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{a^2 b^{-3} } y &=& b \\ y &=& b \cdot a^{-\frac{2}{3} } b \\[5pt] &=& a^{-\frac{2}{3} } b^2 \end{eqnarray}となります。

【解答】
スセソ:2-3
タチツテ:2-23

【問題】
(2) $b=2\sqrt[3]{a^4}$とする。aが$a\gt 0$の範囲を動くとき、連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yについて、$x+y$の最小値を求めよう。

 $b=2 \sqrt[3]{a^4}$であるから、$(\ast)$を満たす正の実数x,yは、aを用いて\[ x=2^{[セソ]}a^{[トナ]}, \quad y=2^{[タ]}a^{[ニ]} \]と表される。

【解説】
(1)の結果から、xは、
\begin{eqnarray} x &=& a^2 b^{-3} \\ &=& a^2 (2\sqrt[3]{a^4})^{-3} \\ &=& 2^{-3} a^{2+4/3\times(-3)} \\ &=& 2^{-3} a^{-2} \end{eqnarray}と求められます。

また、y
\begin{eqnarray} y &=& a^{-2/3} b^2 \\ &=& a^{-2/3} (2\sqrt[3]{a^4})^2 \\ &=& 2^2 a^{-2/3 + 4/3 \times 2}\\ &=& 2^2 a^2 \end{eqnarray}と求められます。

【解答】
トナ:-2
ニ:2

【問題】
したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、$x+y$は$a=2^q$のとき最小値$\sqrt{[ヌ]}$をとることがわかる。ただし\[ q=\frac{[ネノ]}{[ハ]} \]である。

【解説】
先ほどの結果から、$x+y$は、$2^{-3} a^{-2}+2^2 a^{2}$と書けます。相加相乗平均の関係より、
\begin{eqnarray} 2^{-3} a^{-2}+2^2 a^{2} &\geqq& 2 \sqrt{ 2^{-3} a^{-2} \cdot 2^2 a^{2} } \\ &=& 2 \sqrt{ 2^{-1} } \\ &=& \sqrt{ 2 } \end{eqnarray}となります。等号が成り立つのは、$2^{-3} a^{-2} = 2^2 a^2$の時であり、$a^4=2^{-5}$なので、$a=2^{-5/4}$の時であることがわかります。

【解答】
ヌ:2
ネノハ:-54

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