問題編
【問題】
1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、$\angle \mathrm{ AOC }=120^{\circ}$とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点Qを$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$となるようにとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{ b }$とおく。(1) 三角形OPQの面積を求めよう。$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\frac{[ア]}{[イ]}\vec{ a }+\frac{[ウ]}{[イ]}\vec{ b }$である。実数tを用いて$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=(1-t)\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }$と表されるので、$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[エ]t\vec{ a }+\vec{ b }$である。ここで、$\displaystyle \vec{ a }\cdot\vec{ b }=\frac{[オ]}{[カ]}$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[キ]$であることから、$\displaystyle t=\frac{[ク]}{[ケ]}$である。
これらのことから、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }|=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }| = \frac{\sqrt{[シス]}}{[セ]}$である。よって、三角形OPQの面積$S_1$は、$\displaystyle S_1 = \frac{[ソ]\sqrt{[タ]}}{[チツ]}$である。
(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。$\overrightarrow{ \mathrm{ OT } }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。
Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r、sを用いて\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = r\overrightarrow{ \mathrm{ OR } } = (1-s)\overrightarrow{ \mathrm{ OP } } + s\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } } \]と表すと、$\displaystyle r=\frac{[テ]}{[ト]}$、$\displaystyle s=\frac{[ナ]}{[ニ]}$、となることがわかる。よって、$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}\vec{ a } + \frac{[ヒ]}{[フ]}\vec{ b } $である。
上で求めたr、sの値から、三角形OPQの面積$S_1$と、三角形PRTの面積$S_2$との比は、$S_1:S_2=[ヘホ]:2$である。
【考え方】
(1)の前半では、$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$と$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$との内積が0になることを用いて係数を決定していきます。後半の三角形の面積は、直角三角形であることを考えれば簡単に出せます。
(2)の前半では、ベクトルを2通りで表して係数を決める、という典型的な問題です。後半は、面積の比を出すだけなので、面積を求める必要はありません。ベクトルの表現から辺の比を考えていくと、2つの三角形の面積比が出てきます。