センター試験 数学II・数学B 2015年度 第4問 解説
問題編
【問題】
1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、$\angle \mathrm{ AOC }=120^{\circ}$とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点Qを$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$となるようにとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{ b }$とおく。(1) 三角形OPQの面積を求めよう。$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\frac{[ア]}{[イ]}\vec{ a }+\frac{[ウ]}{[イ]}\vec{ b }$である。実数tを用いて$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=(1-t)\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }$と表されるので、$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[エ]t\vec{ a }+\vec{ b }$である。ここで、$\displaystyle \vec{ a }\cdot\vec{ b }=\frac{[オ]}{[カ]}$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[キ]$であることから、$\displaystyle t=\frac{[ク]}{[ケ]}$である。
これらのことから、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }|=\frac{\sqrt{[コ]} }{[サ]}$、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }| = \frac{\sqrt{[シス]} }{[セ]}$である。よって、三角形OPQの面積$S_1$は、$\displaystyle S_1 = \frac{[ソ]\sqrt{[タ]} }{[チツ]}$である。
(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。$\overrightarrow{ \mathrm{ OT } }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。
Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r、sを用いて\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = r\overrightarrow{ \mathrm{ OR } } = (1-s)\overrightarrow{ \mathrm{ OP } } + s\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } } \]と表すと、$\displaystyle r=\frac{[テ]}{[ト]}$、$\displaystyle s=\frac{[ナ]}{[ニ]}$、となることがわかる。よって、$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}\vec{ a } + \frac{[ヒ]}{[フ]}\vec{ b } $である。
上で求めたr、sの値から、三角形OPQの面積$S_1$と、三角形PRTの面積$S_2$との比は、$S_1:S_2=[ヘホ]:2$である。
【考え方】
(1)の前半では、$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$と$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$との内積が0になることを用いて係数を決定していきます。後半の三角形の面積は、直角三角形であることを考えれば簡単に出せます。
(2)の前半では、ベクトルを2通りで表して係数を決める、という典型的な問題です。後半は、面積の比を出すだけなので、面積を求める必要はありません。ベクトルの表現から辺の比を考えていくと、2つの三角形の面積比が出てきます。
解答編
【問題】
1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、$\angle \mathrm{ AOC }=120^{\circ}$とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点Qを$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }$となるようにとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{ b }$とおく。(1) 三角形OPQの面積を求めよう。$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\frac{[ア]}{[イ]}\vec{ a }+\frac{[ウ]}{[イ]}\vec{ b }$である。実数tを用いて$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=(1-t)\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }$と表されるので、$\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[エ]t\vec{ a }+\vec{ b }$である。
【解説】
図は、次のようになっています。
点Pは辺ABを2:1に内分する点なので、$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ OP } }= \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}$となります。
また、$\overrightarrow{\mathrm{ OQ } }$は次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{ OQ } } &=& (1-t) \overrightarrow{\mathrm{ OB } } + t \overrightarrow{\mathrm{ OC } } \\
&=& (1-t) \overrightarrow{b} + t ( -\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \\
&=& -t \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\end{eqnarray}
【解答】
アイウ：132
エ：-
【問題】
ここで、$\displaystyle \vec{ a }\cdot\vec{ b }=\frac{[オ]}{[カ]}$、$\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=[キ]$であることから、$\displaystyle t=\frac{[ク]}{[ケ]}$である。
【解説】
ひし形OABCについて、$\angle\mathrm{ AOC }=120^{\circ}$なので、三角形OABは正三角形です。よって、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{ b }
&=&
\mathrm{ OA } \cdot \mathrm{ OB } \cos \angle \mathrm{ BOA } \\
&=&
1 \cdot 1 \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}
\end{eqnarray}となります。
また、QはOPとOQが垂直になるようにとったことから、$\overrightarrow{\mathrm{ OP } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ OQ } }=0$です。
$\overrightarrow{\mathrm{ OP } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ OQ } }$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を使って表すと、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{ OP } } \cdot \overrightarrow{\mathrm{ OQ } }
&=&
\left( \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \right) \cdot (-t \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \\[5pt]
&=&
-\frac{t}{3} | \overrightarrow{a} |^2 + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3}t \right) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} |\overrightarrow{b}|^2 \\[5pt]
&=&
-\frac{t}{3}+ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3}t \right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\[5pt]
&=&
\frac{ -2t + 1 -2t +4 }{ 6 } \\[5pt]
&=&
\frac{ -4t + 5 }{ 6 }
\end{eqnarray}となります。
これが0になるので、$-4t+5=0$から$\displaystyle t=\frac{5}{4}$となります。
【解答】
オカ：12
キ：0
クケ：54
【問題】
これらのことから、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }|=\frac{\sqrt{[コ]} }{[サ]}$、$\displaystyle |\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }| = \frac{\sqrt{[シス]} }{[セ]}$である。よって、三角形OPQの面積$S_1$は、$\displaystyle S_1 = \frac{[ソ]\sqrt{[タ]} }{[チツ]}$である。
【解説】
OPの長さは、
\begin{eqnarray}
| \overrightarrow{\mathrm{ OP } } | ^2
&=&
\left| \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \right| ^2 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{9}| \vec{a} |^2 + \frac{4}{9} \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{4}{9} |\vec{b}|^2 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{9} \\[5pt]
&=&
\frac{7}{9}
\end{eqnarray}から、$\displaystyle \frac{\sqrt{7} }{3}$とわかります。
OQについては、上で求めた$t=\frac{5}{4}$を使って、
\begin{eqnarray}
| \overrightarrow{\mathrm{ OQ } } | ^2
&=&
\left| -\frac{5}{4} \vec{a} + \vec{b} \right| ^2 \\[5pt]
&=&
\frac{25}{16}| \vec{a} |^2 - \frac{5}{2} \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \\[5pt]
&=&
\frac{25}{16} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \\[5pt]
&=&
\frac{21}{16}
\end{eqnarray}となるので、OQの長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{21} }{4}$とわかります。
よって、三角形OPQの面積$S_1$は、$\angle\mathrm{ POQ }=90^{\circ}$であることに注意すると、
\begin{eqnarray}
S_1
&=&
\frac{1}{2} \mathrm{ OP }\cdot \mathrm{ OQ } \\
&=&
\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} }{3} \cdot \frac{\sqrt{21} }{4} \\[5pt]
&=&
\frac{7\sqrt{3} }{24}
\end{eqnarray}と求められます。
【解答】
コサ：73
シスセ：214
ソタチツ：7324
【問題】
(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。$\overrightarrow{ \mathrm{ OT } }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r、sを用いて\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = r\overrightarrow{ \mathrm{ OR } } = (1-s)\overrightarrow{ \mathrm{ OP } } + s\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } } \]と表すと、$\displaystyle r=\frac{[テ]}{[ト]}$、$\displaystyle s=\frac{[ナ]}{[ニ]}$、となることがわかる。よって、$\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ OT } } = \frac{[ヌネ]}{[ノハ]}\vec{ a } + \frac{[ヒ]}{[フ]}\vec{ b } $である。
【解説】
図は次のようになっています。
これらの係数を比較すると、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{1}
\displaystyle -\frac{1}{4}r = \frac{4-19s}{12} \\[5pt]
\displaystyle r = \frac{2+s}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
という連立方程式ができます。2つ目の式を1つ目に代入すると、
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{4} \cdot \frac{2+s}{3} &=& \frac{4-19s}{12} \\[5pt]
-2-s &=& 4-19s \\
18s &=& 6 \\
s &=& \frac{1}{3} \\
\end{eqnarray}
となります。これを連立方程式の2つ目に代入すると
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{2+\frac{1}{3} }{3}
&=& \frac{6+1}{9}
&=& \frac{7}{9}
\end{eqnarray}となります。
rを用いた$\overrightarrow{\mathrm{ OT } }$の式に代入すると
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{ OT } }
&=&
-\frac{1}{4}r \vec{a} + r \vec{b} \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{9} \vec{a} + \frac{7}{9} \vec{b} \\[5pt]
&=&
-\frac{7}{36} \vec{a} + \frac{7}{9} \vec{b}
\end{eqnarray}と求められます。
【解答】
テトナニ：7913
ヌネノハ：-736
ヒフ：79
【問題】
上で求めたr、sの値から、三角形OPQの面積$S_1$と、三角形PRTの面積$S_2$との比は、$S_1:S_2=[ヘホ]:2$である。
【解説】
三角形OPQの面積$S_1$と三角形PRTの面積$S_2$の比を求めます。比を求めるだけでいいので、$S_2$を直接計算する必要はありません。三角形OPQと三角形PRTの2つを考える前に、三角形PQRを考えてみましょう。
三角形OPQと三角形PQRについて、PQが共通しているので、面積の比はOTとTRの比と一致します。そしてこの比は、\[ r:1-r=\frac{7}{9}:\frac{2}{9}=7:2 \]と書けます。
また、三角形PQRと三角形PRTについては、PRが共通しているので、面積の比はPQとPRの比に一致し、\[ 1:s=1:\frac{1}{3}=3:1 \]と書くことができます。
よって、\[ S_2 = \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{3}S_1=\frac{2}{21} \]なので、$S_1：S_2=21:2$となります。
【解答】
ヘホ：21