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センター試験 数学II・数学B 2015年度 第3問 解説

問題編

【問題】
 自然数nに対し、$2^n$の一の位の数を$a_n$とする。また、数列$\{b_n\}$は\[ b_1=1, \quad b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}\quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ① \]を満たすとする。

(1) $a_1=2$、$a_2=[ア]$、$a_3=[イ]$、$a_4=[ウ]$、$a_5=[エ]$である。このことから、すべての自然数nに対して、$a_{[オ]}=a_n$となることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の0~4のうちから一つ選べ。

 0: $5n$、 1: $4n+1$、 2: $n+3$、 3: $n+4$、 4: $n+5$

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより\[ b_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n} }{2^{[カ]} }b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]が成り立つことがわかる。ここで、$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=3\cdot 2^{[キ]}$であることから、$\displaystyle b_{n+4} = \frac{[ク]}{[ケ]}b_n$が成り立つ。このことから、自然数kに対して
\begin{eqnarray} & & b_{4k-3} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k-2} = \frac{[シ]}{[ス]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \\[5pt] & & b_{4k-1} = \frac{[セ]}{[ソ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \end{eqnarray}である。

(3) $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$とおく。自然数mに対して\[ S_{4m} =[タ] \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^m -[チ] \]である。

(4) 積$b_1 b_2 \cdots b_n$を$T_n$とおく。自然数kに対して\[ b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} = \frac{1}{[ツ]}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[テ](k-1)} \]であることから、自然数mに対して\[ T_{4m} = \frac{1}{[ツ]^m}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[ト]m^2 -[ナ]m} \]である。また、$T_{10}$を計算すると、$\displaystyle T_{10} = \frac{3^{[ニ]} }{2^{[ヌネ]} }$である。

【考え方】
計算量が多い上、数列が4種類に分かれるのでごちゃごちゃしやすいです。なかなか難易度の高い問題です。

(1)は、具体的に書いてみると、循環することがわかります。この循環することを使って、(2)を解いていきます。$\{b_n\}$に関する式が4つ出来上がりますが、すべて公比が等しいことに着目して、(3)を計算していきます。

(4)は指数部分に「和の公式」を使う、という問題です。


解答編

【問題】
 自然数nに対し、$2^n$の一の位の数を$a_n$とする。また、数列$\{b_n\}$は\[ b_1=1, \quad b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}\quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ① \]を満たすとする。

(1) $a_1=2$、$a_2=[ア]$、$a_3=[イ]$、$a_4=[ウ]$、$a_5=[エ]$である。このことから、すべての自然数nに対して、$a_{[オ]}=a_n$となることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の0~4のうちから一つ選べ。

 0: $5n$、 1: $4n+1$、 2: $n+3$、 3: $n+4$、 4: $n+5$

【解説】
$2^n$の一の位に注目すると、
\begin{eqnarray} 2 & \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 6 \rightarrow \\ & 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow \cdots \end{eqnarray}と変化していくことがわかります。

このことから、4つ進むと元に戻ることもわかります。つまり、$a_{n+4}=a_n$となります。

【解答】
アイウエ:4862
オ:3

【問題】
(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより\[ b_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n} }{2^{[カ]} }b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]が成り立つことがわかる。

【解説】
言われた通り、$b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}$を繰り返し用いてみます。すると、
\begin{eqnarray} b_{n+4} &=& \frac{a_{n+3} }{4}b_{n+3} \\[5pt] &=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} b_{n+2} \\[5pt] &=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} \cdot \frac{a_{n+1} }{4} b_{n+1} \\[5pt] &=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} \cdot \frac{a_{n+1} }{4} \cdot \frac{a_{n} }{4} b_{n} \\[5pt] &=& \frac{ a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} }{ 2^8 } b_{n} \end{eqnarray}が導かれます。

【解答】
カ:8

【問題】
ここで、$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=3\cdot 2^{[キ]}$であることから、$\displaystyle b_{n+4} = \frac{[ク]}{[ケ]}b_n$が成り立つ。

【解説】
数列$\{a_n\}$は、2、4、8、6、2、…、と繰り返されていく数列なので、どの$n$に対しても、$\{a_{n}, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3}\}$と$\{2,4,8,6\}$の組は一致します(もちろん、順番が一致するとは限りません)。よって、
\begin{eqnarray} a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} &=& 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 6 \\ &=& 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot ( 2^1 \cdot 3 ) \\ &=& 3\cdot 2^7 \end{eqnarray}となります。よって、 \begin{eqnarray} b_{n+4} &=& \frac{ a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} }{ 2^8 } b_{n} \\[5pt] &=& \frac{ 3\cdot 2^7 }{ 2^8 } b_{n} \\[5pt] &=& \frac{ 3 }{ 2 } b_{n} \end{eqnarray}となります。

【解答】
キ:7
クケ:32

【問題】
このことから、自然数kに対して
\begin{eqnarray} & & b_{4k-3} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k-2} = \frac{[シ]}{[ス]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \\[5pt] & & b_{4k-1} = \frac{[セ]}{[ソ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \end{eqnarray}である。

【解説】
先ほどの式「$b_{n+4}=\frac{ 3 }{ 2 } b_{n}$」からわかることは、数列$\{b_n\}$は4つ飛ばしで見ると、公比が$\frac{3}{2}$の等比数列になっている、ということです。

数列$\{b_{4k-3}\}$について考えると、これは初項が$b_1=1$で、公比が$\frac{3}{2}$の等比数列なので、
\begin{eqnarray} b_{4k-3} &=& \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray} b_{4k-2} &=& \frac{ a_{4k-3} }{4} b_{4k-3} \\[5pt] &=& \frac{a_1}{4} \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt] &=& \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\ \\ b_{4k-1} &=& \frac{ a_{4k-2} }{4} b_{4k-2} \\[5pt] &=& \frac{a_2}{4} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt] &=& \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\ \\ b_{4k} &=& \frac{ a_{4k-1} }{4} b_{4k-1} \\[5pt] &=& \frac{a_3}{4} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt] &=& \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt] \end{eqnarray}と求めることができます。

【解答】
コサ:32
シス:12
セソ:12

【問題】
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$とおく。自然数mに対して\[ S_{4m} =[タ] \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^m -[チ] \]である。

【解説】
$b_n$に対し、初項から$4m$項目までを足す問題です。(2)で一般項を求めましたが、この答えを見ると、すべて「$k-1$乗」となっています。なので、4つずつ足していった方が効率がよさそうです。

\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{4m} b_j &=& \sum_{j=1}^{m} (b_{4j-3}+b_{4j-2}+b_{4j-1}+b_{4j}) \\ &=& \sum_{j=1}^{m} \left\{ \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} + \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} + \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} + \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \right\} \\[5pt] &=& 3 \sum_{j=1}^{m} \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt] &=& 3 \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1} -1 }{\frac{3}{2}-1} \\[5pt] &=& 6 \left(\frac{3}{2}\right)^{m-1} -6 \\[5pt] \end{eqnarray}と求めることができます。

【解答】
タチ:66

【問題】
(4) 積$b_1 b_2 \cdots b_n$を$T_n$とおく。自然数kに対して\[ b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} = \frac{1}{[ツ]}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[テ](k-1)} \]であることから、自然数mに対して\[ T_{4m} = \frac{1}{[ツ]^m}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[ト]m^2 -[ナ]m} \]である。また、$T_{10}$を計算すると、$\displaystyle T_{10} = \frac{3^{[ニ]} }{2^{[ヌネ]} }$である。

【解説】
\begin{eqnarray} & & b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} \\ &=& \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \cdot \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}\\[5pt] &=& \frac{ 1 }{ 4 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {4(k-1)} \end{eqnarray}となります。

$T_{4m}$は上の式で、kが$1$からmまで掛けることになります。このとき、$\frac{1}{4}$は$m$回掛けられます。一方、$\frac{3}{2}$が掛けられる回数は、
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^m 4(k-1) &=& 4\cdot \frac{1}{2}m(m+1) -4m \\ &=& 2m^2-2m \end{eqnarray}となります。よって、 \begin{eqnarray} T_{4m} = \frac{1}{4^m} \left( \frac{3}{2} \right)^{2m^2-2m} \end{eqnarray}となります。

$T_{10}$は、この式で$m=2$としたものに、$b_9$と$b_{10}$を掛ければ求めることができます。
\begin{eqnarray} T_8 &=& \frac{1}{4^2} \left( \frac{3}{2} \right)^{2\cdot 2^2-2\cdot 2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2^4} \left( \frac{3}{2} \right)^4 \\\\ b_9 &=& \left( \frac{3}{2} \right )^{3-1} = \left( \frac{3}{2} \right )^2 \\\\ b_{10} &=& \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^{3-1} = \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^2 \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} T_{10} &=& T_8 \cdot b_9 \cdot b_{10} \\ &=& \frac{1}{2^4} \left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{2} \right )^2 \cdot \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^2 \\ &=& \frac{ 3^8 }{ 2^{13} } \end{eqnarray}となります。

【解答】
ツテ:44
トナ:22
ニヌネ:813

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