問題編
【問題】
自然数nに対し、$2^n$の一の位の数を$a_n$とする。また、数列$\{b_n\}$は\[ b_1=1, \quad b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}\quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ① \]を満たすとする。(1) $a_1=2$、$a_2=[ア]$、$a_3=[イ]$、$a_4=[ウ]$、$a_5=[エ]$である。このことから、すべての自然数nに対して、$a_{[オ]}=a_n$となることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の0～4のうちから一つ選べ。
0: $5n$、 1: $4n+1$、 2: $n+3$、 3: $n+4$、 4: $n+5$
(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより\[ b_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}}{2^{[カ]}}b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]が成り立つことがわかる。ここで、$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=3\cdot 2^{[キ]}$であることから、$\displaystyle b_{n+4} = \frac{[ク]}{[ケ]}b_n$が成り立つ。このことから、自然数kに対して
\begin{eqnarray}
& & b_{4k-3} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1}
, \quad
b_{4k-2} = \frac{[シ]}{[ス]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1}
\\[5pt] & & b_{4k-1} = \frac{[セ]}{[ソ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1}
, \quad
b_{4k} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1}
\end{eqnarray}である。(3) $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$とおく。自然数mに対して\[ S_{4m} =[タ] \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^m -[チ] \]である。
(4) 積$b_1 b_2 \cdots b_n$を$T_n$とおく。自然数kに対して\[ b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} = \frac{1}{[ツ]}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[テ](k-1)} \]であることから、自然数mに対して\[ T_{4m} = \frac{1}{[ツ]^m}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[ト]m^2 -[ナ]m} \]である。また、$T_{10}$を計算すると、$\displaystyle T_{10} = \frac{3^{[ニ]}}{2^{[ヌネ]}}$である。
【考え方】
計算量が多い上、数列が4種類に分かれるのでごちゃごちゃしやすいです。なかなか難易度の高い問題です。
(1)は、具体的に書いてみると、循環することがわかります。この循環することを使って、(2)を解いていきます。$\{b_n\}$に関する式が4つ出来上がりますが、すべて公比が等しいことに着目して、(3)を計算していきます。
(4)は指数部分に「和の公式」を使う、という問題です。