センター試験 数学II・数学B 2015年度 第3問 解説
問題編
【問題】
自然数nに対し、$2^n$の一の位の数を$a_n$とする。また、数列$\{b_n\}$は\[ b_1=1, \quad b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}\quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ① \]を満たすとする。(1) $a_1=2$、$a_2=[ア]$、$a_3=[イ]$、$a_4=[ウ]$、$a_5=[エ]$である。このことから、すべての自然数nに対して、$a_{[オ]}=a_n$となることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の0～4のうちから一つ選べ。
0: $5n$、 1: $4n+1$、 2: $n+3$、 3: $n+4$、 4: $n+5$
(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより\[ b_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n} }{2^{[カ]} }b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]が成り立つことがわかる。ここで、$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=3\cdot 2^{[キ]}$であることから、$\displaystyle b_{n+4} = \frac{[ク]}{[ケ]}b_n$が成り立つ。このことから、自然数kに対して
\begin{eqnarray} & & b_{4k-3} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k-2} = \frac{[シ]}{[ス]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \\[5pt] & & b_{4k-1} = \frac{[セ]}{[ソ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \end{eqnarray}である。(3) $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$とおく。自然数mに対して\[ S_{4m} =[タ] \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^m -[チ] \]である。
(4) 積$b_1 b_2 \cdots b_n$を$T_n$とおく。自然数kに対して\[ b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} = \frac{1}{[ツ]}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[テ](k-1)} \]であることから、自然数mに対して\[ T_{4m} = \frac{1}{[ツ]^m}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[ト]m^2 -[ナ]m} \]である。また、$T_{10}$を計算すると、$\displaystyle T_{10} = \frac{3^{[ニ]} }{2^{[ヌネ]} }$である。
【考え方】
計算量が多い上、数列が4種類に分かれるのでごちゃごちゃしやすいです。なかなか難易度の高い問題です。
(1)は、具体的に書いてみると、循環することがわかります。この循環することを使って、(2)を解いていきます。$\{b_n\}$に関する式が4つ出来上がりますが、すべて公比が等しいことに着目して、(3)を計算していきます。
(4)は指数部分に「和の公式」を使う、という問題です。
解答編
【問題】
自然数nに対し、$2^n$の一の位の数を$a_n$とする。また、数列$\{b_n\}$は\[ b_1=1, \quad b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}\quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ① \]を満たすとする。(1) $a_1=2$、$a_2=[ア]$、$a_3=[イ]$、$a_4=[ウ]$、$a_5=[エ]$である。このことから、すべての自然数nに対して、$a_{[オ]}=a_n$となることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の0～4のうちから一つ選べ。
0: $5n$、 1: $4n+1$、 2: $n+3$、 3: $n+4$、 4: $n+5$
【解説】
$2^n$の一の位に注目すると、
\begin{eqnarray}
2 & \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 6 \rightarrow \\
& 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow \cdots
\end{eqnarray}と変化していくことがわかります。
このことから、4つ進むと元に戻ることもわかります。つまり、$a_{n+4}=a_n$となります。
【解答】
アイウエ：4862
オ：3
【問題】
(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより\[ b_{n+4}=\frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n} }{2^{[カ]} }b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]が成り立つことがわかる。
【解説】
言われた通り、$b_{n+1} =\frac{a_nb_n}{4}$を繰り返し用いてみます。すると、
\begin{eqnarray}
b_{n+4} &=& \frac{a_{n+3} }{4}b_{n+3} \\[5pt]
&=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} b_{n+2} \\[5pt]
&=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} \cdot \frac{a_{n+1} }{4} b_{n+1} \\[5pt]
&=& \frac{a_{n+3} }{4} \cdot \frac{a_{n+2} }{4} \cdot \frac{a_{n+1} }{4} \cdot \frac{a_{n} }{4} b_{n} \\[5pt]
&=& \frac{ a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} }{ 2^8 } b_{n}
\end{eqnarray}が導かれます。
【解答】
カ：8
【問題】
ここで、$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=3\cdot 2^{[キ]}$であることから、$\displaystyle b_{n+4} = \frac{[ク]}{[ケ]}b_n$が成り立つ。
【解説】
数列$\{a_n\}$は、2、4、8、6、2、…、と繰り返されていく数列なので、どの$n$に対しても、$\{a_{n}, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3}\}$と$\{2,4,8,6\}$の組は一致します（もちろん、順番が一致するとは限りません）。よって、
\begin{eqnarray}
a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} &=& 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 6 \\
&=& 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot ( 2^1 \cdot 3 ) \\
&=& 3\cdot 2^7
\end{eqnarray}となります。よって、
\begin{eqnarray}
b_{n+4}
&=& \frac{ a_{n+3} a_{n+2} a_{n+1} a_{n} }{ 2^8 } b_{n} \\[5pt]
&=& \frac{ 3\cdot 2^7 }{ 2^8 } b_{n} \\[5pt]
&=& \frac{ 3 }{ 2 } b_{n}
\end{eqnarray}となります。
【解答】
キ：7
クケ：32
【問題】
このことから、自然数kに対して
\begin{eqnarray} & & b_{4k-3} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k-2} = \frac{[シ]}{[ス]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \\[5pt] & & b_{4k-1} = \frac{[セ]}{[ソ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} , \quad b_{4k} = \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{k-1} \end{eqnarray}である。
【解説】
先ほどの式「$b_{n+4}=\frac{ 3 }{ 2 } b_{n}$」からわかることは、数列$\{b_n\}$は4つ飛ばしで見ると、公比が$\frac{3}{2}$の等比数列になっている、ということです。
数列$\{b_{4k-3}\}$について考えると、これは初項が$b_1=1$で、公比が$\frac{3}{2}$の等比数列なので、
\begin{eqnarray}
b_{4k-3} &=& \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\end{eqnarray}となります。
また、
\begin{eqnarray}
b_{4k-2}
&=&
\frac{ a_{4k-3} }{4} b_{4k-3} \\[5pt]
&=&
\frac{a_1}{4} \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt]
&=&
\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\\ \\
b_{4k-1}
&=&
\frac{ a_{4k-2} }{4} b_{4k-2} \\[5pt]
&=&
\frac{a_2}{4} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt]
&=&
\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\\ \\
b_{4k}
&=&
\frac{ a_{4k-1} }{4} b_{4k-1} \\[5pt]
&=&
\frac{a_3}{4} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt]
&=&
\left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求めることができます。
【解答】
コサ：32
シス：12
セソ：12
【問題】
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n b_j$とおく。自然数mに対して\[ S_{4m} =[タ] \left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^m -[チ] \]である。
【解説】
$b_n$に対し、初項から$4m$項目までを足す問題です。(2)で一般項を求めましたが、この答えを見ると、すべて「$k-1$乗」となっています。なので、4つずつ足していった方が効率がよさそうです。
【解答】
タチ：66
【問題】
(4) 積$b_1 b_2 \cdots b_n$を$T_n$とおく。自然数kに対して\[ b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} = \frac{1}{[ツ]}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[テ](k-1)} \]であることから、自然数mに対して\[ T_{4m} = \frac{1}{[ツ]^m}\left(\frac{[コ]}{[サ]}\right)^{[ト]m^2 -[ナ]m} \]である。また、$T_{10}$を計算すると、$\displaystyle T_{10} = \frac{3^{[ニ]} }{2^{[ヌネ]} }$である。
【解説】
\begin{eqnarray}
& &
b_{4k-3}b_{4k-2}b_{4k-1}b_{4k} \\
&=&
\left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\cdot
\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\cdot
\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}
\cdot
\left( \frac{3}{2} \right) ^ {k-1}\\[5pt]
&=&
\frac{ 1 }{ 4 } \left( \frac{3}{2} \right) ^ {4(k-1)}
\end{eqnarray}となります。
$T_{4m}$は上の式で、kが$1$からmまで掛けることになります。このとき、$\frac{1}{4}$は$m$回掛けられます。一方、$\frac{3}{2}$が掛けられる回数は、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^m 4(k-1)
&=&
4\cdot \frac{1}{2}m(m+1) -4m \\
&=&
2m^2-2m
\end{eqnarray}となります。よって、
\begin{eqnarray}
T_{4m} = \frac{1}{4^m} \left( \frac{3}{2} \right)^{2m^2-2m}
\end{eqnarray}となります。
$T_{10}$は、この式で$m=2$としたものに、$b_9$と$b_{10}$を掛ければ求めることができます。
\begin{eqnarray}
T_8
&=&
\frac{1}{4^2} \left( \frac{3}{2} \right)^{2\cdot 2^2-2\cdot 2} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2^4} \left( \frac{3}{2} \right)^4
\\\\
b_9
&=&
\left( \frac{3}{2} \right )^{3-1}
=
\left( \frac{3}{2} \right )^2
\\\\
b_{10}
&=&
\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^{3-1}
=
\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^2
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
T_{10}
&=&
T_8 \cdot b_9 \cdot b_{10} \\
&=&
\frac{1}{2^4} \left( \frac{3}{2} \right)^4
\cdot
\left( \frac{3}{2} \right )^2
\cdot
\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right )^2 \\
&=&
\frac{ 3^8 }{ 2^{13} }
\end{eqnarray}となります。
【解答】
ツテ：44
トナ：22
ニヌネ：813