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センター試験 数学II・数学B 2006年度 第8問 解説

問題編

【問題】
 1個のサイコロを4回続けて投げる反復試行を行う。$i=1,2,\cdots ,6$それぞれについて、iの目の出た回数を$Z_i$とする。ただし、4回投げてiの目が一度も出ない場合には、$Z_i=0$とする。$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$の値の最大値をXとし、$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$の値のうち1以上のものの最小値をYとする。例えば、出た目が4,4,2,6のときは、$Z_1=0$、$Z_2=1$、$Z_3=1$、$Z_4=2$、$Z_5=0$、$Z_6=1$であり、$X=2$、$Y=1$である。

 以下では、$Y=k$となる確率を$P(Y=k)$で表す。

(1) $\displaystyle P(Y=4) = \frac{[ア]}{[イウエ]}$である。

(2) $\displaystyle P(Y=2) = \frac{[オ]}{[カキ]}$である。

(3) $P(Y=k)\gt 0$となるkは[ク]個あり、$\displaystyle P(Y=1) = \frac{[ケコ]}{[サシ]}$である。また、Yの平均は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$で、分散は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$である。

(4) $X\geqq 2$となる条件のもとで、$Y=1$となる条件つき確率は$\displaystyle \frac{[トナ]}{[ニヌ]}$である。

【考え方】
誘導にそのまま乗っかって計算していけばOKです。それぞれの確率が、どういうケースを指しているのか考えて計算していきます。

(3)は「(1)(2)以外のケース」という考え方で計算します。


解答編

【問題】
 1個のサイコロを4回続けて投げる反復試行を行う。$i=1,2,\cdots ,6$それぞれについて、iの目の出た回数を$Z_i$とする。ただし、4回投げてiの目が一度も出ない場合には、$Z_i=0$とする。$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$の値の最大値をXとし、$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$の値のうち1以上のものの最小値をYとする。例えば、出た目が4,4,2,6のときは、$Z_1=0$、$Z_2=1$、$Z_3=1$、$Z_4=2$、$Z_5=0$、$Z_6=1$であり、$X=2$、$Y=1$である。

 以下では、$Y=k$となる確率を$P(Y=k)$で表す。

(1) $\displaystyle P(Y=4) = \frac{[ア]}{[イウエ]}$である。

【解説】
$Y=4$となるのは、$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$のうち、どれかが4で、他はすべて0ということです。つまり、どれかの目が4回連続で出るということです。どの目が出るかは6通りなので、\[ \frac{6}{6^4}=\frac{1}{216} \]となります。

【解答】
アイウエ:1216

【問題】
(2) $\displaystyle P(Y=2) = \frac{[オ]}{[カキ]}$である。

【解説】
$Y=2$となるのは、$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$のうち、1以上のものの最小値が2ということなので、どれか2つの目が2回ずつ出るということです。目の選び方が$_6\mathrm{ C }_2=15$通り、何回目と何回目が同じ目になるかが$_4\mathrm{ C }_2=6$通りなので、\[ \frac{15 \times 6}{6^4}=\frac{5}{72} \]となります。

【解答】
オカキ:572

【問題】
(3) $P(Y=k)\gt 0$となるkは[ク]個あり、$\displaystyle P(Y=1) = \frac{[ケコ]}{[サシ]}$である。

【解説】
$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$をすべて足すと4になるので、値が正のものの組み合わせは、「4」「3,1」「2,2」「2,1,1」「1,1,1,1」しかありません。これらに対し、Yの値はそれぞれ、4,1,2,1,1となります。つまり、$Y=k$が起こり得るkは3通りだけです。

また、(1)(2)の結果から、
\begin{eqnarray} P(Y=1) &=& 1-\frac{1}{216}-\frac{5}{72} =\frac{25}{27} \end{eqnarray}と求められます。

【解答】
ク:3
ケコサシ:2527

【問題】
また、Yの平均は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$で、分散は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$である。

【解説】
確率が分かったので、平均は
\begin{eqnarray} & & 1\times \frac{25}{27} + 2\times \frac{5}{72} + 4\times\frac{1}{216} \\[5pt] &=& \frac{200+30+4}{216} = \frac{234}{216} = \frac{13}{12} \end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray} & & 1^2\times \frac{25}{27} + 2^2\times \frac{5}{72} + 4^2\times\frac{1}{216} \\[5pt] &=& \frac{200+60+16}{216} = \frac{276}{216} = \frac{23}{18} \end{eqnarray}なので、分散は、 \begin{eqnarray} \frac{23}{18} -\left(\frac{13}{12}\right)^2 = \frac{184 -169}{144} = \frac{15}{144} = \frac{5}{48} \end{eqnarray}となります。

【解答】
スセソタ:1312
チツテ:548

【問題】
(4) $X\geqq 2$となる条件のもとで、$Y=1$となる条件つき確率は$\displaystyle \frac{[トナ]}{[ニヌ]}$である。

【解説】
(3)で書いた通り、$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$のうちで値が正のものの組み合わせは、「4」「3,1」「2,2」「2,1,1」「1,1,1,1」しかありません。

これを踏まえ、$X\geqq 2$となるとき、つまり、最大値が2以上となるときを考えると、「1,1,1,1」以外であることがわかります。「1,1,1,1」となるのは、4回すべてが違う数字になるときなので、$X\geqq 2$となる確率は、\[ 1-\frac{_6\mathrm{ P }_4}{6^4}=\frac{216-60}{216}=\frac{156}{216} \]です。

$X\geqq 2$で$Y=1$となるのは、「3,1」「2,1,1」のときです。こうなる確率は、(1)(2)から、\[ \frac{156}{216} -\frac{1}{216} -\frac{5}{72} = \frac{156-1-15}{216}=\frac{140}{216} \]となります。

以上から、求める条件つき確率は
\begin{eqnarray} \frac{140}{216} \div \frac{156}{216} = \frac{35}{39} \end{eqnarray}となります。

【解答】
トナニヌ:3539

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