センター試験 数学II・数学B 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 平面上の三つのベクトル$\vec{ a }$、$\vec{ b }$、$\vec{ c }$は\[ |\vec{ a }| = |\vec{ b }| = |\vec{ c }| = |\vec{ a }+\vec{ b }|=1 \]を満たし、$\vec{ c }$は$\vec{ a }$に垂直で、$\vec{ b }\cdot\vec{ c } \gt 0$であるとする。

(1) $\vec{ a }$と$\vec{ b }$の内積は\[ \vec{ a }\cdot \vec{ b } = \frac{[アイ]}{[ウ]} \]である。また\[ |2\vec{ a }+\vec{ b }| =\sqrt{[エ]} \]であり、$2\vec{ a }+\vec{ b }$と$\vec{ b }$のなす角は$[オカ]^{\circ}$である。

(2) ベクトル$\vec{ c }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ c } = \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} (\vec{ a } + [ケ]\vec{ b }) \]である。

(3) x,yを実数とする。ベクトル$\vec{ p } = x\vec{ a }+y\vec{ c }$が\[ 0\leqq \vec{ p }\cdot\vec{ a } \leqq 1, \quad 0\leqq\vec{ p }\cdot\vec{ b } \leqq 1 \]を満たすための必要十分条件は\[ [コ]\leqq x\leqq [サ], \quad x\leqq \sqrt{[シ]} y \leqq x+[ス] \]である。xyが上の範囲を動くとき、$\vec{ p }\cdot\vec{ c }$は最大値$\sqrt{[セ]}$をとり、この最大値をとるときの$\vec{ p }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ p } = [ソ]\vec{ a } +[タ]\vec{ b } \]である。

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著者:長岡 亮介
出版社:旺文社
発売日:2012-09-23
ページ数:752 ページ
値段:¥1,870
(2020年09月 時点の情報です)

【考え方】
ベクトルの大きさや内積の問題では、2乗して展開するのがお決まりパターンです。

(2)は、条件を使って係数を求める問題です。(3)は少し何がしたいのかわかりにくいですが、代入して計算していけば、自然と答えが出てきます。

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