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センター試験 数学II・数学B 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 平面上の三つのベクトル$\vec{ a }$、$\vec{ b }$、$\vec{ c }$は\[ |\vec{ a }| = |\vec{ b }| = |\vec{ c }| = |\vec{ a }+\vec{ b }|=1 \]を満たし、$\vec{ c }$は$\vec{ a }$に垂直で、$\vec{ b }\cdot\vec{ c } \gt 0$であるとする。

(1) $\vec{ a }$と$\vec{ b }$の内積は\[ \vec{ a }\cdot \vec{ b } = \frac{[アイ]}{[ウ]} \]である。また\[ |2\vec{ a }+\vec{ b }| =\sqrt{[エ]} \]であり、$2\vec{ a }+\vec{ b }$と$\vec{ b }$のなす角は$[オカ]^{\circ}$である。

(2) ベクトル$\vec{ c }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ c } = \frac{\sqrt{[キ]} }{[ク]} (\vec{ a } + [ケ]\vec{ b }) \]である。

(3) x,yを実数とする。ベクトル$\vec{ p } = x\vec{ a }+y\vec{ c }$が\[ 0\leqq \vec{ p }\cdot\vec{ a } \leqq 1, \quad 0\leqq\vec{ p }\cdot\vec{ b } \leqq 1 \]を満たすための必要十分条件は\[ [コ]\leqq x\leqq [サ], \quad x\leqq \sqrt{[シ]} y \leqq x+[ス] \]である。xyが上の範囲を動くとき、$\vec{ p }\cdot\vec{ c }$は最大値$\sqrt{[セ]}$をとり、この最大値をとるときの$\vec{ p }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ p } = [ソ]\vec{ a } +[タ]\vec{ b } \]である。

【考え方】
ベクトルの大きさや内積の問題では、2乗して展開するのがお決まりパターンです。

(2)は、条件を使って係数を求める問題です。(3)は少し何がしたいのかわかりにくいですが、代入して計算していけば、自然と答えが出てきます。


解答編

【問題】
 平面上の三つのベクトル$\vec{ a }$、$\vec{ b }$、$\vec{ c }$は\[ |\vec{ a }| = |\vec{ b }| = |\vec{ c }| = |\vec{ a }+\vec{ b }|=1 \]を満たし、$\vec{ c }$は$\vec{ a }$に垂直で、$\vec{ b }\cdot\vec{ c } \gt 0$であるとする。

(1) $\vec{ a }$と$\vec{ b }$の内積は\[ \vec{ a }\cdot \vec{ b } = \frac{[アイ]}{[ウ]} \]である。

【解説】
$|\vec{ a }+\vec{ b }|=1$と$|\vec{ a }| = |\vec{ b }|=1$より、
\begin{eqnarray} |\vec{ a }+\vec{ b }|^2 &=& 1 \\ |\vec{ a }|^2 +2\vec{ a }\cdot\vec{ b } +|\vec{ b }|^2 &=& 1 \\ 1 +2\vec{ a }\cdot\vec{ b } +1 &=& 1 \\ \vec{ a }\cdot\vec{ b } &=& -\frac{1}{2} \\ \end{eqnarray}となります。

【解答】
アイウ:-12

【問題】
また\[ |2\vec{ a }+\vec{ b }| =\sqrt{[エ]} \]であり、$2\vec{ a }+\vec{ b }$と$\vec{ b }$のなす角は$[オカ]^{\circ}$である。

【解説】
\begin{eqnarray} & & |2\vec{ a }+\vec{ b }|^2 \\ &=& 4|\vec{ a }|^2 +4\vec{ a }\cdot\vec{ b }+|\vec{ b }|^2 \\ &=& 4\cdot 1 +4\left(-\frac{1}{2}\right)+1 \\ &=& 3 \\ \end{eqnarray}なので、$|2\vec{ a }+\vec{ b }|=\sqrt{3}$となります。

また、
\begin{eqnarray} & & (2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b} \\ &=& 2\vec{a}\cdot \vec{b} +|\vec{b}|^2 \\ &=& -1 +1=0 \\ \end{eqnarray}なので、$2\vec{ a }+\vec{ b }$と$\vec{ b }$のなす角は90度となります。

【解答】
エ:3
オカ:90

【問題】
(2) ベクトル$\vec{ c }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ c } = \frac{\sqrt{[キ]} }{[ク]} (\vec{ a } + [ケ]\vec{ b }) \]である。

【解説】
$\vec{ a }$と$\vec{ b }$は平行ではないので、実数s,tを用いて、\[ \vec{ c } = s\vec{ a }+t\vec{ b } \]と書くことができます。このs,tを求めます。

$\vec{ c }$は$\vec{ a }$に垂直なので、
\begin{eqnarray} \vec{ c }\cdot \vec{ a } &=& 0 \\ (s\vec{ a }+t\vec{ b })\cdot \vec{ a } &=& 0 \\ s-\frac{t}{2} &=& 0 \\ t &=& 2s \\ \end{eqnarray}となります。よって、$\vec{ c } = s\vec{ a }+2s\vec{ b }$と書けます。

$|\vec{ c }|=1$なので、
\begin{eqnarray} |s\vec{ a }+2s\vec{ b }|^2 &=& 1 \\[5pt] s^2|\vec{ a }|^2 +4s^2 \vec{ a }\cdot\vec{ b } +4s^2|\vec{ b }|^2 &=& 1 \\[5pt] s^2 -2s^2 +4s^2 &=& 1 \\ 3s^2 &=& 1 \\ s^2 &=& \frac{1}{3} \\ \end{eqnarray}なので、$s=\pm\frac{\sqrt{3} }{3}$となります。

ここで、$\vec{ b }\cdot\vec{ c }\gt 0$だから
\begin{eqnarray} \vec{ b }\cdot (s\vec{ a }+2s\vec{ b } ) &\gt& 0 \\ -\frac{s}{2}+2s &\gt& 0 \\ s &\gt& 0 \\ \end{eqnarray}なので、$s=\frac{\sqrt{3} }{3}$であることがわかります。

このことから、
\begin{eqnarray} \vec{ c } &=& s\vec{ a }+2s\vec{ b } \\ &=& \frac{\sqrt{3} }{3}(\vec{ a }+2\vec{ b }) \end{eqnarray}となります。

【解答】
キクケ:332

【問題】
(3) x,yを実数とする。ベクトル$\vec{ p } = x\vec{ a }+y\vec{ c }$が\[ 0\leqq \vec{ p }\cdot\vec{ a } \leqq 1, \quad 0\leqq\vec{ p }\cdot\vec{ b } \leqq 1 \]を満たすための必要十分条件は\[ [コ]\leqq x\leqq [サ], \quad x\leqq \sqrt{[シ]} y \leqq x+[ス] \]である。

【解説】
$\vec{ c }\cdot\vec{ a }=0$なので、
\begin{eqnarray} & & \vec{ p }\cdot\vec{ a } \\ &=& (x\vec{ a }+y\vec{ c })\cdot\vec{ a } \\ &=& x \\ \end{eqnarray}となります。よって、$0\leqq \vec{ p }\cdot\vec{ a } \leqq 1$と$0\leqq x\leqq 1$は同値です。

また、
\begin{eqnarray} & & \vec{ p }\cdot\vec{ b } \\ &=& (x\vec{ a }+y\vec{ c })\cdot\vec{ b } \\ &=& -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{3}(\vec{ a }+2\vec{ b })\cdot\vec{ b } \\ &=& -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{3}\left(-\frac{1}{2}+2\right) \\ &=& -\frac{x}{2} +\frac{\sqrt{3}y}{2} \\ \end{eqnarray}なので、$\vec{ p }\cdot\vec{ b } \geqq 0$と$x\leqq\sqrt{3}y$は同値になり、$\vec{ p }\cdot\vec{ b } \leqq 1$と$\sqrt{3}y\leqq x+2$は同値になります。

【解答】
コサ:01
シス:32

【問題】
xyが上の範囲を動くとき、$\vec{ p }\cdot\vec{ c }$は最大値$\sqrt{[セ]}$をとり、この最大値をとるときの$\vec{ p }$を$\vec{ a }$と$\vec{ b }$で表すと\[ \vec{ p } = [ソ]\vec{ a } +[タ]\vec{ b } \]である。

【解説】
\begin{eqnarray} & & \vec{ p }\cdot\vec{ c } \\ &=& (x\vec{ a }+y\vec{ c })\cdot\vec{ c } \\ &=& y \\ \end{eqnarray}となります。さきほど求めた範囲から、$y\leqq \frac{x+2}{\sqrt{3} }$であることがわかり、$0\leqq x \leqq 1$なので、yは、$x=1$のときに最大値$\sqrt{3}$をとることがわかります。

また、このとき
\begin{eqnarray} \vec{p} &=& \vec{a}+\sqrt{3}\vec{c} \\ &=& \vec{a}+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3} }{3}(\vec{ a }+2\vec{ b }) \\ &=& \vec{a}+\vec{ a }+2\vec{ b } \\ &=& 2\vec{a}+2\vec{ b } \end{eqnarray}となります。

【解答】
セ:3
ソタ:22

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