センター試験 数学II・数学B 2006年度 第1問 [1] 解説

問題編

【問題】
 $0^{\circ}\leqq \theta \lt 180^{\circ}$の範囲で関数$f(\theta)=3\cos 2\theta+4\sin\theta$を考える。

 $\sin\theta = t$とおけば\[ \cos 2\theta = [ア] -[イ]t^{[ウ]} \]であるから、$y=f(\theta)$とおくと\[ y=-[エ]t^{[ウ]} +[オ]t +[カ] \]である。したがって、yの最大値は$\displaystyle \frac{[キク]}{3}$であり、最小値は$[ケ]$である。

 また、$\alpha$が$0^{\circ}\lt \alpha \lt 90^{\circ}$を満たす角度で$f(\alpha)=3$のとき\[ \sin( \alpha +30^{\circ}) =\frac{[コ]\sqrt{[サ]}+\sqrt{[シ]}}{[ス]} \]である。

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【考え方】
$\cos$や$\sin$を別の文字で置き換えて考えていく、というよくある問題です。ここでは、$\sin$をtで置き換えています。tの範囲に注意して解いていきます。

最後は加法定理を用いたあと、$\sin\alpha$と$\cos\alpha$を求めましょう。

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