問題編
【問題】
不等式\[ 2\log_3 x -4\log_x 27 \leqq 5 \quad \cdots (*) \]が成り立つようなxの範囲を求めよう。(1) 不等式(*)において、xは対数の底であるから
$x\gt [セ]$ かつ $x\ne [ソ]$
を満たさなければならない。また\[\log_x27=\frac{[タ]}{\log_3 x}\]である。(2) 不等式(*)は
$[セ]\lt x \lt [ソ]$のとき \[ [チ](\log_3 x)^2 -[ツ]\log_3 x -[テト] \geqq 0 \] $x \gt [ソ]$のとき \[ [チ](\log_3 x)^2 -[ツ]\log_3 x -[テト] \leqq 0 \] と変形できる。したがって、求めるxの値の範囲は\[ [セ]\lt x \leqq \frac{\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}, \quad [ソ]\lt x \leqq[ヌネ] \]である。
【考え方】
$\log$の部分を別の文字で置き換えて考えていく、というよくあるタイプの問題です。不等式なので、$\log$の値が正か負かで場合分けをして考えていく必要があります。
最終的に出てくる式は2次不等式であり、因数分解もできるので難しい式ではありませんが、場合分けが少し面倒です。穴埋めなので不等号の向きを間違っても答えを出すことはできますが、穴埋めでなくても正しく解けるようになっていることが望ましいです。
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